注重?cái)?shù)學(xué)思想，巧求陰影面積
    湖北省安陸洑水初中　王官清
    
    和圓有關(guān)的陰影部分的面積，新課標(biāo)試驗(yàn)教材的若干習(xí)題，很具代表性，同學(xué)們認(rèn)真分析研究，體會(huì)其解法所涉及的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是大有裨益的．
    ?
    一、運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想求解
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    例1　如圖1，大半圓O與小半圓O₁相切于點(diǎn)C，大半圓的弦AB與小半圓相切于F，且AB∥CD，AB=4cm，求陰影部分的面積．
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    解析：如圖1-1，如果想直接求陰影部分的面積，因?yàn)樗遣灰?guī)則圖形，我們無(wú)法求解．把小半圓平移到與大半圓的圓心重合的位置，作OE⊥AB，連接OB，可知BE=2，陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積．
    即=，
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    點(diǎn)評(píng)：將小半圓的平移到和大半圓圓心重合，變?yōu)樘厥獾奈恢藐P(guān)系，很容易發(fā)現(xiàn)兩個(gè)半圓的面積之差等于陰影部分的面積．然后利用垂徑定理和勾股定理，就能夠求得結(jié)果，并不需要求兩個(gè)半圓的半徑．這種等積變換、以及一般向特殊轉(zhuǎn)化的方法在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到．
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    例２　如圖２ 外切于點(diǎn)P，它們的半徑分別為0.6和0.2
    ，直線CD與它們都相切，切點(diǎn)分別為C、D，求圖中陰影部分的面積．
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    分析：因?yàn)橹苯忧箨幱安糠值拿娣e是比較困難的，必須通過(guò)轉(zhuǎn)化．根據(jù)切點(diǎn)較多的情況，過(guò)切點(diǎn)作半徑，作連心線，構(gòu)造直角梯形．陰影部分的面積等于直角梯形的面積減去兩個(gè)扇形的面積．
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    解：連接AC、BD、AB.作BE⊥AC于E. 如圖２-1.
    ∵C、D是直線CD與和的切點(diǎn)，∴AC⊥CD，BD⊥CD.
    ∵和外切于點(diǎn)P，∴AB經(jīng)過(guò)兩圓的切點(diǎn)P.
    ∴
    ∵AE=0.4，AB=0.8，∴∠A=60°，∠PBD=120°，
    ∴，，
    ?
    ∴= （
    ）
    ?
    點(diǎn)評(píng)：在和圓有關(guān)的相切的問(wèn)題中，經(jīng)常作的輔助線是“過(guò)切點(diǎn)作半徑”．從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到和直角有關(guān)的三角形、梯形、扇形來(lái)處理．特別是和兩圓相切的問(wèn)題中，構(gòu)造直角三角形是必須掌握的方法技巧．要好好體會(huì)．
    ?
    二、運(yùn)用方程的思想求解
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    例３　如圖３，正方形的邊長(zhǎng)為a，以每邊為直徑在正方形內(nèi)畫(huà)半圓，求圖中陰影部分的面積．
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    分析：如圖３-１，設(shè)一個(gè)陰影部分面積為x，一個(gè)空白部分面積為y， 則
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    三、運(yùn)用整體的思想求解
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    例４　如圖４，兩兩不相交，且半徑都是0.5
    ，求圖中的三個(gè)扇形（即陰影部分的面積）之和.
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    分析：雖然不知道三個(gè)扇形的圓心角分別是多少，但是扇形的三個(gè)圓心角是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180度，所以三個(gè)扇形的半徑相同，拼在一起是一個(gè)半圓，于是問(wèn)題便迎刃而解．這種整體的思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)非常重要．
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    解：如圖3-1，因?yàn)槿齻€(gè)圓的半徑相同，所以三個(gè)扇形的面積就是半圓的面積．
    因此 （）.
    
    

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