乘法公式
    ──平方差公式
    湖北省襄樊市襄陽區(qū)城關(guān)一中　朱小平　湖北省襄樊市襄陽區(qū)教研室　趙素芬　湖北省襄樊市教學(xué)研究室　吳明龍
    
    　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
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    　　【內(nèi)容】 八年級上冊第15章第2節(jié)第一課時乘法公式──平方差公式
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    【內(nèi)容解析】“平方差公式”是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)“乘法公式”的第一個公式，讓學(xué)生了解公式產(chǎn)生的背景，經(jīng)歷公式形成的推導(dǎo)過程，學(xué)生從已有的認(rèn)知出發(fā)，在一組多項式乘以多項式的乘法運(yùn)算中，發(fā)現(xiàn)有特殊形式的多項式相乘，運(yùn)算結(jié)果特別簡單，從而誘發(fā)學(xué)生從中總結(jié)出這種特殊的多項式相乘的特征，初步感受平方差公式；通過數(shù)形結(jié)合驗證平方差公式的合理性，進(jìn)而確立平方差公式的地位和作用：既為符合公式特征的整式乘法運(yùn)算帶來簡便,又為后續(xù)學(xué)習(xí)用公式法分解因式奠定基礎(chǔ)；從公式的探究推導(dǎo)活動中，讓學(xué)生學(xué)會從“特殊”到“一般”的探究方法，為學(xué)生以后能主動探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等數(shù)學(xué)公式奠定良好的遷移基礎(chǔ)．要想熟練而正確的應(yīng)用公式解決問題，學(xué)生必須對公式結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行剖析，在剖析中加深了對公式特征和表達(dá)形式的理解與掌握，又為學(xué)生學(xué)習(xí)掌握其他數(shù)學(xué)公式提供了學(xué)習(xí)的模板．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具備核心的地位．讓學(xué)生體會研究“公式問題”的“基本套路”：從一般問題（整式乘法）中發(fā)現(xiàn)特殊情況（平方差），舉三反一，再考察特殊情況存在的共性及合理性，進(jìn)而歸納出特殊情況的一般特征，歸納得到公式并用文字、符號表示；能夠辨析公式，明確其結(jié)構(gòu)特征，在實踐中加以應(yīng)用，舉一反三，體會它存在的必要性和便捷性．同時為學(xué)生感悟和體驗數(shù)學(xué)思想與方法（歸納、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合）也搭建了一個不可多得的平臺．
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    基于上述分析，確定本節(jié)的教學(xué)重點是；
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    理解并掌握平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征；會運(yùn)用此公式進(jìn)行計算．
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    二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
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    【目標(biāo)】? 1、了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問題．
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    2、經(jīng)歷平方差公式產(chǎn)生的過程，體驗知識的產(chǎn)生與發(fā)展，感受利用歸納、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題的策略，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力．
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    3、在探索平方差公式的過程和在解決問題過程中學(xué)會與他人合作交流．在公式的學(xué)習(xí)及運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗、體驗成功的喜悅，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．
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    　　【目標(biāo)解析】學(xué)生經(jīng)歷公式的形成過程：從“特例──一般”用“歸納──猜想──驗證──數(shù)學(xué)符號”表示等過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感、培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力；讓學(xué)生能理解公式中a 、b 各代表什么，能夠分析、運(yùn)用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征解決問題；讓學(xué)生在經(jīng)歷從具體到抽象，從一般到特殊中，尋找規(guī)律，自我歸納，明確解決同類問題的基本套路，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，感受“平方差公式”的魅力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；
    在自主探究、合作交流的過程中體驗學(xué)習(xí)的快樂和幸福，從而能主動地去理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)的精神．
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    三、教學(xué)問題診斷分析
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    學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)有：第一、七年級學(xué)生已有用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)．第二、學(xué)生已學(xué)習(xí)了多項式的乘法，但本節(jié)課所給特殊形式的多項式相乘，主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)特征的特殊性上，而這種特殊形式又靈活多樣，學(xué)生常常在字母表示的廣泛含義上不易掌握（如字母表示負(fù)數(shù)，多項式等），在平方差公式的靈活運(yùn)用時常發(fā)生多種錯誤，如：① 符號錯誤（-5a- 3）（+5a-3）=25a
    ²-9 ② 系數(shù)不平方（2a-1）（2a+1）=2a²-1 ③ 不能運(yùn)用公式的而運(yùn)用公式（a+0.5b）（b-0.5 a）=a²-0.25b²，其原因就是只了解公式（a+b）（a-b）=a²-b²的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本質(zhì)特征．
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    鑒于此，本節(jié)的教學(xué)難點是：
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    理解乘法公式的結(jié)構(gòu)特征及幾何意義，并能靈活運(yùn)用平方差公式．
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    四、教學(xué)支持條件分析
    ?
    　　利用多媒體展示教學(xué)的部分環(huán)節(jié)，如創(chuàng)設(shè)情景、公式的幾何意義等，從而支持課堂教學(xué)，突出重點，突破難點．
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    　　五、教學(xué)過程設(shè)計
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    　?。ㄒ唬﹦?chuàng)設(shè)情境，快樂起航
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    從前，有一個狡猾的莊園主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植．第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)道:“好吧”．回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚．你知道張老漢是否吃虧了嗎？學(xué)習(xí)了本節(jié)課的知識，你將能輕松地解決．
    ?
    　　[設(shè)計意圖]從生活中的實例引入，一是激發(fā)學(xué)生求知興趣；二是為說明平方差公式的幾何意義做好鋪墊．
    ?
    　　（二）自主探索，獲取新知?
    ?
    問題1：利用多項式的乘法法則，計算下面各題．再觀察、分析這組題目左邊的算式和右邊的結(jié)果，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（小組討論）
    ?
    ?????????? （1）（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn????????? (4)（a+5）（a-5）
    ?
    ??????????? (2)(x+3)(y+4)=xy+4x+3y+12?????????? （5）(p+q) (p-q)
    ?
    ??????????? (3)(y+3)(y-2)=y²+y-6??????????????? （6）（2x+1）（2x-1）
    ?
    問題2：通過這些題目的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？
    ?
    （視學(xué)生活動情況，可預(yù)設(shè)以下兩個追問）
    ?
    （追問
    1）：（4）（5）（6）題在形式和結(jié)果上與其它各題有什么區(qū)別？
    ?
    （追問2）：觀察、分析（4）（5）（6）左邊的算式和右邊的結(jié)果，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（小組討論）
    ?
    （4）（a+5）（a-5）? =? a²-5a+5a -5^2???? =　 a²- 5²???????????
    ?
    （5）(p+q) (p-q)?? =? p²-pq+pq-q²????? =?? p² - q²
    ?
    （6）（2x+1）（2x-1）=（2x）²－2x+2x-1²?? = （2x）²-1²
    ?
    　　發(fā)現(xiàn)：【左邊】 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積?? 【右邊】這兩個數(shù)的平方差??
    ?
    　　猜想：（a+b）（a-b）=??
    ?
    　　[設(shè)計意圖]?? 在教學(xué)中以一組相關(guān)聯(lián)但又有區(qū)別的題目為載體，學(xué)生通過計算，觀察每個算式的特點、結(jié)果的特點，挖掘題目間的共性，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉三反一，猜想公式，讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊，從具體到抽象的過程，體會歸納這一數(shù)學(xué)思想方法．
    ?
    　　問題3：你能通過計算（a+b）（a-b），說明猜想的合理性嗎？??????????????????????
    ?
    ???????? （a+b）（a-b）=a²-ab+ ab-b² =a²-b²???????
    ?
    　　歸納平方差公式：（a+b）（a-b）= a²-b²，即：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差．
    ?
    　　
    [設(shè)計意圖]通過多項式的乘法法則踐行猜想，讓感知得到到理性的檢驗，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科思維的嚴(yán)謹(jǐn)，讓合情推理與演繹推理完美并進(jìn)，進(jìn)而準(zhǔn)確的用數(shù)學(xué)語言表述公式．
    ?
    　　（三）剖析公式，揭示本質(zhì)
    ?
    　　問題4：你能揭示公式的結(jié)構(gòu)特征嗎？（學(xué)生先自主辨析，再交流互補(bǔ)，不但完善）
    ?
    左邊??????????????? 右邊????????????????
    ?
    結(jié)構(gòu)特征?（a+b）（a-b）?? =???? a²?? -? b²
    ?
    ???????????????? 相同項?? 相反項????? 相同項² -? 相反項²
    ?
    ??????????????? [a與a]?? [b與-b]
    ?
    　　[設(shè)計意圖]揭示公式的結(jié)構(gòu)特征，是學(xué)生理解公式、進(jìn)而靈活運(yùn)用公式解決問題的前提條件．讓學(xué)生自主辨析、合作交流、共同總結(jié)得以明晰，既體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，又為學(xué)生學(xué)習(xí)公式進(jìn)行了學(xué)法指導(dǎo),可謂“一箭雙雕”．
    ?
    （四）數(shù)形結(jié)合，幾何說理
    ?
    問題5：現(xiàn)在，你知道張老漢是否吃虧了嗎？吃虧了多少？
    ?
    　　追問：如果將張老漢所租的正方形土地的一邊減少b米，相鄰另一邊增加b米， 現(xiàn)在的土地面積是多少？原來的土地面積是多少？兩者相比，發(fā)生了怎樣的變化？請你將圖（1）重新拼圖，驗證結(jié)論的正確性．它說明了什么公式？???
    　　??
    　　[設(shè)計意圖]使學(xué)生直觀地經(jīng)歷變化的過程，從數(shù)形結(jié)合的角度加深對公式的理解．
    ?
    （五）鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知?
    ?
    開心一試 真我巧變
    ?
    1.你能用□和○分別代表a和b來表示平方差公式嗎？
    ?
    ?(□+○)(□－○) =□²－○²
    ?
    2.請你根據(jù)等式在□和○里填數(shù)或式
    ?
    如（ 2a +⑤）（2a －⑤）=2a²-⑤²
    ?
    教師可根據(jù)學(xué)生的回答，補(bǔ)充多項式的形式．
    ?
    　　小結(jié)：其中□（即a）和○（即b）可以表示數(shù)，單項式或多項式．
    ?
    　　[設(shè)計意圖] 這道開放題的設(shè)計，以剖析a、b的廣泛含義為目的，對于認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征起到事半功倍的作用，在后面公式的運(yùn)用中相信學(xué)生會更加得心應(yīng)手．
    ?
    鋒芒畢露?模擬演練??
    ?
    　　3．填一填??
    ?
    [設(shè)計意圖] 設(shè)計此題旨在將算式中的各項與公式里的a、b進(jìn)行對照，進(jìn)一步體會字母a、b的含義，舉一反三，加深對字母含義廣泛性的理解．
    ?
    ? ?你挑我選?慧眼識珠
    ?
    　　4．判斷對錯，如果有錯，如何改正？（大組競賽）
    ?
    (1)（x-2）（x+2）=x²-2???????????? （ ） (2)（2a+5）（2a-5）=2a²-25? （ ）
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    (3)（-1+3m）（1+3m）=1-9m²???????? （ ） (4)（a+b）（b-a）=a²-b²???? （ ）
    ?
    (5)（1/3-4xy）(1/3+4xy)=1/9-16x²y²（ ） (6)（4x+3b）（4x-3b）=16x²-9（ ）
    ?
    　　[設(shè)計意圖] 對學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤，進(jìn)行預(yù)設(shè)，防微杜漸．
    ?
    　　例 題：計算
    ?
    （1）10298???? （2）（y+2）（y-2）－（y-1）（y+5）??
    ?
    大顯身手?巧用善用?
    ?
    　　5．計算
    ?
    (1)5149??????? (2)（3x+4）（3x－4）－（x+3）（x－2）
    ?
    　　[設(shè)計意圖] 通過轉(zhuǎn)化，利用公式計算，體會平方差公式的便捷．
    ?
    爭我風(fēng)采?易如反掌????
    ?
    6.變式練習(xí)
    ?
    　　(1)填空： ① (-m+___)(n+____)=n²-m²
    ?
    　　　　　　　② 寫出與（-a+b）相乘能用平方差公式的因式___________________．
    ?
    　　　　　　?、?5a+b+3c)(5a+b-3c)=A²-B²,則A=_______B=______.
    ?
    　　(2)計算:? (x+y)(x-y)(x²+y²),并根據(jù)此題自編一道類似的題，同桌交換做一做．
    ?
    　?。?）2008²-20092007
    ?
    [設(shè)計意圖] 通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會逆向思維和發(fā)散思維，從而加強(qiáng)學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，連續(xù)使用平方差公式是對公式應(yīng)用的拓展與提高．
    ?
    　　（六）小結(jié)梳理，布置作業(yè)?
    ?
    1.小結(jié)
    ?
    （1）本節(jié)課你學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識？
    ?
    （a+b）（a-b）=a²-b²?
    ?
    　?。?）平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是什么？
    ?
    左邊：兩個因式中一定有相同項和相反項
    ?
    右邊：相同項的平方減去相反項的平方．
    ?
    　?。?）本節(jié)課你感悟到哪些數(shù)學(xué)思想方法？（轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合）
    ?
    　　2.作業(yè)
    ?
    　?。?）課內(nèi)作業(yè)?
    ?
    ①、P156? T1
    ?
    ②、先化簡，再求值??? x(x+2)-(x+1)(x-1),其中x=1/2
    ?
    　　（2）課外探究
    ?
    從邊長為a的大正方形紙板中，挖去一個邊長為b的小正方形后，將其裁成四個相同的等腰梯形，再拼成一個平行四邊形．如圖所示，那么通過計算平行四邊形的面積，可以驗證公式
    ???? ________．
    ???
    [設(shè)計意圖]數(shù)形結(jié)合，從幾何意義上理解代數(shù)公式，多方位的去理解新知、運(yùn)用新知，加深學(xué)生對平方差公式的理解．
    ?
    六、目標(biāo)檢測設(shè)計
    ?
    （一）選擇題
    ?
    1、下列各式計算中，結(jié)果正確的是（?）
    ?
    A、（x-3）（x+3）=x²-6???? B、（x+5）（3x-5）=3x²-25
    ?
    C、（-x-y）（x+y）=x²-y²?? D、（2ab-c）（c+2ab）=4a²b²-c
    ²
    ?
    2、下列各式相乘，能用平方差公式計算的是（?）
    ?
    （1）（2a-3b）（3b-2a）???? （2）（-2a+3b）（-2a-3b）???
    ?
    （3）（2a+3b）（-2a-3b）??? （4）（2a+3b+c）（2a+3b-c）
    ?
    A
    、1個?????? B、2個??????? C、3個???????? D、4個
    ?
    (二)計算
    ?
    （1）（-3x+2）（-3x-2）?????????? （2）（4x-3）（4x+3）-（x-2）(2-x)
    ?
    （三）填一填
    ?
    （1）（-x+__）(___-2y)= x²-4y²?? （2）(-6m+___)(2n+___)=4n²-36m²
    ?
    （四）小強(qiáng)去商店買了9.8千克的食品，每千克10.2元，售貨員正準(zhǔn)備拿計算器計算，小強(qiáng)卻一口說出了答案，你能像小強(qiáng)那樣快速算出答案嗎？
    ?
    [設(shè)計意圖]設(shè)計不同形式的問題，考察學(xué)生對平方差公式的理解與應(yīng)用．對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行檢測，給學(xué)生自我評價的機(jī)會，對“教”與“學(xué)”及時反饋．師生一起查漏補(bǔ)缺，揚(yáng)長避短，自我完善．
    
    

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