15．3 乘法公式
?
課時安排
?
??? 3課時
?
??? 從容說課
?
??? 學(xué)習(xí)乘法公式，是在學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)上進行的，是由一般到特殊的體現(xiàn)，所以教學(xué)時，可以安排學(xué)生計算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在學(xué)生計算的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出公式，并進一步揭示公式的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生理解并掌握這些公式的特點，為正確運用這些公式進行計算打好基礎(chǔ)．為了揭示公式特征，教學(xué)中要緊緊地采取對比的方式．緊扣例題與公式進行比較，讓學(xué)生自己進行比較，發(fā)現(xiàn)公式的特征．盡管問題千變?nèi)f化，以千姿百態(tài)出現(xiàn)，通過對比，可以發(fā)現(xiàn)特征不變，仍符合公式特征，從而根據(jù)公式解決問題．
?
??? 運用乘法公式計算，有時需要添括號，在已學(xué)過去括號法則的基礎(chǔ)上，本節(jié)還安排了添括號法則．它是乘法公式的進一步深化應(yīng)用的工具和基礎(chǔ)．學(xué)習(xí)它可以和去括號法則對比進行．
?
??? 在對比中學(xué)，在對比中用，在對比中再進行比較，從基本類型的題目到變化多端的題目，從單一題型到復(fù)雜題型，從式中的系數(shù)、指數(shù)、符號、項數(shù)、數(shù)字等逐一對比，抓住公式、法則的實質(zhì)，達(dá)到嫻熟駕馭，左右逢源，才能做到運用自如的效果．
?
?
?
§15．3．1? 平方差公式
?
第九課時
?
??? 教學(xué)目標(biāo)
?
??? （一）教學(xué)知識點
?
??? 1．經(jīng)歷探索平方差公式的過程．
?
??? 2．會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算．
?
??? （二）能力訓(xùn)練要求
?
??? 1．在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號感和推理能力．
?
??? 2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力．
?
??? （三）情感與價值觀要求???? 在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，從而體會數(shù)學(xué)的簡捷美．
?
??? 教學(xué)重點
?
??? 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用．
?
??? 教學(xué)難點
?
??? 理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式．
?
??? 教學(xué)方法
?
??? 探究與講練相結(jié)合．
?
??? 通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會公式實質(zhì)，學(xué)會靈活運用．
?
??? 教具準(zhǔn)備
?
??? 投影片．
?
??? 教學(xué)過程
?
??? Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境
?
??? [師]你能用簡便方法計算下列各題嗎？
?
??? （1）2001×1999?? （2）998×1002
?
??? [生甲]直接乘比較復(fù)雜，我考慮把它化成整百，整千的運算，從而使運算簡單，2001可以寫成2000+1，1999可以寫成2000-1，那么2001×1999可以看成是多項式的積，根據(jù)多項式乘法法則可以很快算出．
?
??? [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
?
??? [師]很好，請同學(xué)們自己動手運算一下．
?
??? [生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
?
??? =20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
?
??? =20002-1
?
??? =4000000-1
?
??? =3999999．
?
??? （2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
?
??? =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
?
??? =10002-22
?
??? =1000000-4
?
??? =1999996．
?
??? [師]2001×1999=20002-12
?
?????? 998×1002=10002-22
?
??? 它們積的結(jié)果都是兩個數(shù)的平方差，那么其他滿足這個特點的運算是否也有這個規(guī)律呢？我們繼續(xù)進行探索．
?
??? Ⅱ．導(dǎo)入新課
?
??? [師]出示投影片
?
?? 計算下列多項式的積．
?
??? （1）（x+1）（x-1）
?
??? （2）（m+2）（m-2）
?
??? （3）（2x+1）（2x-1）
?
??? （4）（x+5y）（x-5y）
?
??? 觀察上述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn)．
?
??? （學(xué)生討論，教師引導(dǎo)）
?
??? [生甲]上面四個算式中每個因式都是兩項．
?
??? [生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個數(shù)的和與差的積．例如算式（1）是x與1這兩個數(shù)的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個數(shù)的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個數(shù)的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個數(shù)的和與差的積．
?
??? [師]這個發(fā)現(xiàn)很重要，請同學(xué)們動筆算一下，相信你還會有更大的發(fā)現(xiàn)．
?
??? [生]解：（1）（x+1）（x-1）
?
????????????? =x2+x-x-1=x2-12
?
??? （2）（m+2）（m-2）
?
??????? =m2+2m-2m-2×2=m2-22
?
??? （3）（2x+1）（2x-1）
?
??????? =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
?
??? （4）（x+5y）（x-5y）
?
??????? =x2+5y•x-x•5y-（5y）2
?
??????? =x2-（5y）2
?
[生]從剛才的運算我發(fā)現(xiàn)：
?
?
?
?
?
也就是說，兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這和我們前面的簡便運算得出的是同一結(jié)果．
?
?
?
??? [師]能不能再舉例驗證你的發(fā)現(xiàn)？
?
??? [生]能．例如：
?
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
?
?
?
??? 即（50+1）（50-1）=502-12．
?
??? （-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）
?
=（-a）2-b2=a2-b2
?
?
?
??? 這同樣可以驗證：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．
?
??? [師]為什么會是這樣的呢？
?
??? [生]因為利用多項式與多項式的乘法法則展開后，中間兩項是同類項，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個數(shù)的平方差了．
?
??? [師]很好．請用一般形式表示上述規(guī)律，并對此規(guī)律進行證明．
?
??? [生]這個規(guī)律用符號表示為：
?
??? （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項式、多項式．
?
??? 利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明：
?
??? （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
?
??? [師]同學(xué)們真不簡單．老師為你們感到驕傲．能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個名字呢？
?
??? [生]最終結(jié)果是兩個數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？
?
??? [師]有道理．這就是我們探究得到的“平方差公式”，請同學(xué)們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式．
?
??? （出示投影）
?
??? 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．
?
??? 即：（a+b）（a-b）=a2-b2
?
??? 平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，用它直接運算會很簡便，但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用．
?
??? 在應(yīng)用中體會公式特征，感受平方差公式給運算帶來的方便，從而靈活運用平方差公式進行計算
?
??? （出示投影片）
?
??? 例1：運用平方差公式計算：
?
??? （1）（3x+2）（3x-2）
?
??? （2）（b+2a）（2a-b）
?
??? （3）（-x+2y）（-x-2y）
?
??? 例2：計算：
?
??? （1）102×98
?
??? （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
?
??? [師生共析]運用平方差公式時要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會對號入座．
?
??? 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
?
??? 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
?
??? （a+b）（a-b）=a2-b2
?
??? 同樣的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡單的轉(zhuǎn)化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化：
?
??? （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
?
??? 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項式的乘法法則．
?
??? （作如上分析后，學(xué)生可以自己完成兩個例題．也可以通過學(xué)生的板演進行評析達(dá)到鞏固和深化的目的）
?
??? [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
?
??? （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
?
??? （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
?
??? [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
?
??? =1002-22=10000-4=9996．
?
??? （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
?
??? =y2-22-（y2+5y-y-5）
?
??? =y2-4-y2-4y+5
?
??? =-4y+1．
?
??? [師]我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？
?
??? [生]我覺得應(yīng)注意以下幾點：
?
??? （1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式．
?
??? （2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式．
?
??? （3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式．
?
??? [生]運算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡才行．
?
??? [師]同學(xué)們總結(jié)得很好．下面請同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí)．優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言．
?
??? Ⅲ．隨堂練習(xí)
?
??? 出示投影片：
?
??? 計算：
?
??? （1）（a+b）（-b+a）
?
??? （2）（-a-b）（a-b）
?
??? （3）（3a+2b）（3a-2b）
?
??? （4）（a5-b2）（a5+b2）
?
??? （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
?
??? （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
?
??? 解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．
?
??? （2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．
?
??? （3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．
?
??? （4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．
?
??? （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2
?
??? =（a+2b）（a+2b）-4c2
?
??? =a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2
?
??? =a2+4ab+4b2-4c2
?
??? （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
?
??? =（a2-b2）（a2+b2）
?
??? =（a2）2-（b2）2=a4-b4．
?
??? 優(yōu)勝組總結(jié)發(fā)言：
?
??? 這些運算都可以通過變形后利用平方差公式．其中變形的形式有：位置變形；符號變形；系數(shù)變形；指數(shù)變形；項數(shù)變形；連用公式．關(guān)鍵還是在于理解公式特征，學(xué)會對號入座，有整體思想．
?
??? Ⅳ．課時小結(jié)
?
??? 通過本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識．
?
??? （1）平方差公式
?
??? 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差．這個公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
?
??? （2）公式的結(jié)構(gòu)特征
?
??? ①公式的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示單項式、多項式；
?
??? ②要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式；
?
??? ③有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
?
??? Ⅴ．課后作業(yè)
?
??? 1．課本P179練習(xí)1、2．
?
??? 2．課本P182～P183習(xí)題15．3─1題．
?
??? Ⅵ．活動與探究
?
??? 1．計算：1234567892-123456788×123456790
?
??? 2．解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）（x+ ）=2．
?
??? 過程：
?
??? 1．看似數(shù)字很大，但觀察到：123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化簡計算．
?
??? 2．方程中含有多項式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化簡．
?
??? 結(jié)果：
?
??? 1．1234567892-123456788×123456790
?
??? =1234567892-（123456789-1）（123456789+1）
?
??? =1234567892-（1234567892-1）
?
??? =1234567892-1234567892+1
?
??? =1．
?
??? 2．原方程可化為：
?
??? 5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（ ）2]=2
?
??? ∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2
?
??? 即5x+54x2-24-54x2+6=2
?
??? 移項合并同類項得5x=20
?
??? ∴x=4．
?
??? 板書設(shè)計
?
???
?
?
?
備課資料
?
??? [例1]利用平方差公式計算：
?
??? （1）（a+3）（a-3）（a2+9）；
?
??? （2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）．
?
??? 分析：（1）（a+3）（a-3）適合平方差公式的形式，應(yīng)先計算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）適合平方差公式的形式，應(yīng)先計算（2x-1）×（2x+1）
?
??? 解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9）
?
??? =（a2）2-92=a4-81；
?
??? （2）原式=[（2x-1）（2x+1）]（4x2+1）
?
??? =[（2x）2-12]（4x2+1）
?
??? =（4x2-1）（4x2+1）
?
??? =（4x2）2-1=16x4-1．
?
??? 方法總結(jié)：觀察、發(fā)現(xiàn)哪兩個多項式符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，符合公式結(jié)構(gòu)特征的先算．這是這類試題的計算原則．
?
??? [例2]計算：
?
??? （1）1002-992+982-972+962-952+…+22-12；
?
??? （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）．
?
??? 分析：直接計算顯然太復(fù)雜，不難發(fā)現(xiàn)每兩個項正好是平方相減的形式．于是便考慮能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去計算．事實上，這是可行的．
?
??? 解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+…+（22-12）
?
??? =（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（2+1）（2-1）
?
??? =100+99+98+97+…+2+1
?
??? =（100+1）+（99+2）+…+（51+50）
?
??? =50×101=5050；
?
??? （2）（1- ）（1- ）（1- ）…（1- ）（1- ）．
?
??? =（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）…（1+ ）（1- ）（1+ ）（1- ）
?
??? = × × × × × ×…× × × ×
?
??? ＝ × = ．
?
??? 方法總結(jié)：逆用平方差公式產(chǎn)生了很好的效果。相信你也會運用．
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |