分式的意義和性質(zhì)
一、分式的概念
1、用A、B表示兩個(gè)整式，A÷
B可以表示成
的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子 就叫做分式。這就是分式的概念。研究分式就從這里展開(kāi)。2、既然除式里含有字母的有理代數(shù)式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式
的分子A可取任意數(shù)值，但分母B不能為零，因?yàn)橛昧阕龀龜?shù)沒(méi)有意義。一般地說(shuō)，在一個(gè)分式里，分子中的字母可取任意數(shù)值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。3、（1）分式：
，當(dāng)B=0時(shí)，分式無(wú)意義。?? （2）分式：
，當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義。?? ?。?/span>3）分式：
，當(dāng)
時(shí)，分式的值為零。?? ?。?/span>4）分式：
，當(dāng) 
時(shí)，分式的值為1。
?? ?。?/span>5）分式：
，當(dāng) 
時(shí)，即 
或
時(shí)， 為正數(shù)。?? （6）分式：
，當(dāng)
時(shí)，即 
或 
時(shí)， 為負(fù)數(shù)。?? （7）分式：
，當(dāng) 
時(shí) 或 
時(shí)，
為非負(fù)數(shù)。??? 二、分式的基本性質(zhì)：
1、學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)應(yīng)該與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比。不同點(diǎn)在于同乘以或同除以同一個(gè)不等于零的整式，這個(gè)整式可以是數(shù)也可以是字母，只要是不為零的整式。
2、這個(gè)性質(zhì)可用式子表示為：
（M為不等于零的整式）3、學(xué)習(xí)基本性質(zhì)應(yīng)注意幾點(diǎn)：
（1）分子與分母同乘或同除的整式的值不能為零；
（2）易范錯(cuò)誤是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；
?。?/span>3）如果分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須乘以多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。
4、分式變號(hào)法則的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。
5、分式的分子，分母和分式的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變，如下列式子：
， 
。??? 三、約分：
1、約分是約去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式，最簡(jiǎn)分式又叫既約分式。
2、約分的理論依據(jù)是分式的基本性質(zhì)。
3、約分的方法：
?。?/span>1）如果分式的分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，就約去分子和分母中相同因式的最低次冪，當(dāng)分子和分母的系數(shù)是整數(shù)時(shí)，還要約去它們的最大公約數(shù)。
??? 四、例題分析
例1，請(qǐng)說(shuō)出下列各式中哪些是整式，那些是分式？
?。?/span>1）
?。?/span>2） 
?。?/span>3） 
?。?/span>4）
?。?/span>5） 
a2- 
a （6） 
。解：根據(jù)分式定義知（1）、（2）、（3）是分式，（
4）、（5）、（6）是整式。
說(shuō)明：判斷一個(gè)代數(shù)式是否是分式要緊緊抓住除式中含不含字母。
這里
是分式，不能因?yàn)?/span> = 
=a+b，而認(rèn)為
是整式，a+b是分式 的值。要區(qū)分分式的值和分式這兩個(gè)不同的概念。
另外
是整式而不是分式。雖然分母中有π，但π不是字母而是無(wú)理數(shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此
的除式中不含字母。例2，在分式（1）
（2） 
（3）
中，字母x的值有什么限制？解：（1）在
中，當(dāng)x=2時(shí)，使得分母x-2=0，∴x≠2,
（2）在
中，當(dāng)x=-2時(shí)，使得分母x+2=0, ∴x≠-2,
?。?/span>3）在
中，當(dāng)x=-2或x=3時(shí)，使得分母(x+2)(x-3)=0，
∴x≠-2且x≠3。
例3，x為何值時(shí)，分式
，（1）無(wú)意義；（2）值為零；（3）值為1；（4）值為非負(fù)數(shù)。解：（1）∵當(dāng)分母2x+3=0時(shí)分式無(wú)意義，∴x=-
時(shí)，分式無(wú)意義。?。?/span>2）∵當(dāng)
時(shí)，分式值為零?！?/span>
，∴x=1時(shí)分式值為零?！ ?/span>?。?/span>3）∵當(dāng)
時(shí)，分式值為1，∴x=-4時(shí)分式值為1。
?。?/span>4）∵當(dāng)
或 
時(shí)，分式值為非負(fù)數(shù)。∴
或 
∴ x≥1或x<-
時(shí)分式值為非負(fù)數(shù)。例4，當(dāng)x取何值時(shí)，分式
（1）值為零；（2）無(wú)意義；（3）有意義。
解：（1）∵當(dāng)(x+3)(x-1)≠0時(shí)，分式有意義，∴當(dāng)x≠-3且x≠1
時(shí)分式有意義。
又∵6-2|x|=0時(shí)分式值為零，則3-|x|=0, ∴|x|=3, ∴x=±3。
∴
， ∴x=3時(shí)分式值為零?！?/span>解：（2）∵(x+3)(x-1)=0分式無(wú)意義，
即
x+3=0或x-1=0，∴x=-3或x=1時(shí)分式無(wú)意義。
說(shuō)明：對(duì)于（1）也可先令分子為零，求出字母的所有可能值為x=±3后，再逐一代入分母驗(yàn)證是否為零，不為零者即為所求。
對(duì)于（2）當(dāng)x+3=0或x-1=0時(shí)，都會(huì)使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。
解：（3）∵(x+3)(x-1)≠0
時(shí)分式有意義。
即x+3≠0且x-1≠0時(shí)，∴x≠-3且x≠
1時(shí)分式有意義，
說(shuō)明：對(duì)于（3）分母(x+3)(x-1)只有不為零時(shí)，分式有意義，而(x+3)(x-1)≠0，當(dāng)x+3=0或x-1=0都會(huì)使(x+3)(x-1)=0
，所以應(yīng)將x=-3和x=1都同時(shí)排除掉，寫(xiě)成x≠-3且x≠1，用“且”字，而不用“或”字。意義為x不能為-3而且還不能為1，即-3和1都不能取。因?yàn)槿∪魏纹渲幸粋€(gè)值，分母(x+3)(x-1)都會(huì)為0，而使分式都會(huì)無(wú)意義。
例5，寫(xiě)出等式中未知的分子或分母：
?。?/span>1
）
；?。?/span>2） 
； （3） 
；（1）分析：這類問(wèn)題要從已知條件入手，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分析變化的過(guò)程，如（1）右邊分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左邊分母為x+y，所以需將左式的分子和分母同乘以(x-y)。
解：
，∴未知的分子是(x-y)2, ?。?/span>2）分析：左邊分子a2-ab=a(a-b)，而右邊分子是a-b，所以需將左式的分子和分母同除以a。
解：
= 
，未知的分母是b。?。?/span>3）∵a2+ab=a(a+b)
（將分子因式分解）
∴
（比較分子，發(fā)現(xiàn)分子、分母同乘以a）=
，2ab即為所求的分母。
例6，把下列分式的分子和分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)。
?。?/span>1）
； （2） 
；
?。?/span>1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍數(shù)為15，再據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，分子和分母同乘以15。
解：
= 
。
?。?/span>2）解：
= 
= 
注：必須乘以分子和分母的每一項(xiàng)，避免發(fā)生(0.2a+3b)
×10=2a+3b這樣的錯(cuò)誤。
例7，不改變分式的值，使下列分式中分子與分母不含“-”號(hào)，（1）-
；（2）- 
。解：根據(jù)分式的符號(hào)法則得：
?。?/span>1）-
= 
；?。?/span>2）-
=- 
。注意：分式、分子和分母的符號(hào)中，任意改變其中兩個(gè)，分式的值不變。（1）中改變分式本身和分母兩個(gè)負(fù)號(hào)，（2）中改變分子和分母兩個(gè)負(fù)號(hào)。
例8，不改變分式的值，依照x的降冪排列，使分子和分母中x的最高項(xiàng)的系數(shù)都為正數(shù)。
（1）
；（2）-
。解：（1）
= 
= 
= 
；
?。?/span>2）-
=- 
=- 
=- 
。說(shuō)明：解題可分為三步：（1）先將分式的分子和分母都按x的降冪排列，這步只是運(yùn)用加法交換律，不改變符號(hào)。（2）將分子和分母的最高項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，只要提取公因式-1即可，提取時(shí)注意每項(xiàng)都要變號(hào)。（3）運(yùn)用符號(hào)法則進(jìn)行變號(hào)。
注意：如果分子或分母的首項(xiàng)為負(fù)，則必須先將負(fù)號(hào)提到括號(hào)外面，再使用符號(hào)法則，要注意避免下列的錯(cuò)誤：
= 
。例9，約分：（1）
?。?/span>2）
。解：（1）
= 
= 
=-3yz10。注意：分母的因式約去后得1，分式變?yōu)檎?。若化?jiǎn)分式
時(shí)千萬(wàn)不要犯下列錯(cuò)誤： = 
=0。?。?/span>2）
= 
= 
=- 
。注意：分母的負(fù)號(hào)一般要移去。
（2）如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先分解因式，然后再約分。
例10、約分：（1）
；?。?/span>2）
；?。?/span>3）
； （4） 
；?。?/span>5） 
。解：（1）
= 
。注意：不要把
約成 = 
，也不要將最后結(jié)果寫(xiě)成
，因?yàn)榉质降臋M線表示括號(hào)，再寫(xiě)括號(hào)就多余了。?。?/span>2）
= 
。注：不要將
約做 
，因?yàn)檫@樣是分子分母都減a2，不是同除以相同的整式。?。?/span>
3）
= 
= 
=x2+1。注：不要犯下面的錯(cuò)誤：
=x3-x2。
?。?/span>4）
= 
= 
=
=- 
。注意：這里應(yīng)用到了(2-x)3=-(x-2)3的變形。
?。?/span>5）
= 
（分子按x的降冪排列）
=
（分子提取公因式-1）=
（分子、分母都分解因式）=
（約去公因式：x-1）=-
（應(yīng)用分式的符號(hào)法則）說(shuō)明：此題的解法，一方面顯示出分式約分的一般步驟，另一方面在解題的右側(cè)的括號(hào)內(nèi)寫(xiě)出運(yùn)算的算理，平日的化簡(jiǎn)是不寫(xiě)這些的，但不是它不存在，在思維上它是不可缺少的。
分?jǐn)?shù)的乘除法的關(guān)鍵是約分，而分式乘除法的關(guān)鍵也是約分，就是說(shuō)，分式乘除法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是約分，它能使運(yùn)算的結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式。同分?jǐn)?shù)的約分一樣，分式的約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，把分式的分子、分母同除以它們的公因式，把分式化簡(jiǎn)，因此約分的關(guān)鍵在于正確尋找到分式分子、分母中的公因式。
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