分式運算的技巧
    
    
    
    【精練】計算：
    
    【分析】本題中有四個分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復(fù)雜，其運算難度較大.不過我們注意到若把前兩個分式相加，其結(jié)果卻是非常簡單的.因此我們可以采用逐項相加的辦法.
    
    【解】=
    
    ????????????????????????????? =
    ????????????????????????????? =
    【知識大串聯(lián)】
    ??? 1．分式的有關(guān)概念
    ??? 設(shè)A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義
    ??? 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡
    2、分式的基本性質(zhì)
    ?（M為不等于零的整式）
    3．分式的運算
    ? (分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似)．
    ??
    ?(異分母相加，先通分)；??
    4．零指數(shù)?
    5．負(fù)整數(shù)指數(shù)?
    注意正整數(shù)冪的運算性質(zhì)??
    可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負(fù)整數(shù)．
    分式是初中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，其運算綜合性強(qiáng)，技巧性大，如果方法選取不當(dāng)，不僅使解題過程復(fù)雜化，而且出錯率高．下面通過例子來說明分式運算中的種種策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考．
    1．順次相加法
    例1：計算：
    【分析】本題的解法與例1完全一樣.
    【解】=
    ????????????????????????????? =
    
    ???????????????????????? ?????=
    2．整體通分法
    【例2】計算：
    【分析】本題是一個分式與整式的加減運算.如能把（-a-1）看作一個整體，并提取“-”后在通分會使運算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
    【解】
    ==.
    3．化簡后通分
    
    分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計算會方便許多．
    
    
    4．巧用拆項法
    例4計算：.
    分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到，這樣可抵消一些項.
    解：原式=
    ????????? =
    ????????? ==
    5．分組運算法
    例5：計算：
    
    分析：本題項數(shù)較多，分母不相同.因此，在進(jìn)行加減時，可考慮分組.分組的原則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運算簡便.
    解：
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    
    ???? =
    ???? =
    【錯題警示】
    一、錯用分式的基本性質(zhì)
    例1????????? 化簡
    錯解：原式
    分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
    正解：原式
    二、錯在顛倒運算順序
    例2???????? 計算
    錯解：原式
    分析：乘除是同一級運算，除在前應(yīng)先做除，上述錯解顛倒了運算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯誤.
    正解：原式
    三、錯在約分
    例1? 當(dāng)為何值時，分式有意義？
    [錯解]原式.
    由得.
    ∴時，分式有意義.
    [解析]上述解法錯在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯誤.
    [正解]由得且
    .
    ∴當(dāng)且，分式有意義.
    四、錯在以偏概全
    例2? 為何值時，分式有意義？
    [錯解]當(dāng)，得.
    ∴當(dāng)，原分式有意義.
    [解析]上述解法中只考慮的分母，沒有注意整個分母，犯了以偏概全的錯誤.
    [正解]
    ，得，
    由，得.
    ∴當(dāng)且時，原分式有意義.
    五、錯在計算去分母
    例3? 計算.
    [錯解]原式
    =.
    [解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計算是等值代換，不能去分母，.
    [正解]原式
    .
    六、錯在只考慮分子沒有顧及分母
    例4? 當(dāng)為何值時，分式的值為零.
    [錯解]由，得.
    ∴當(dāng)
    或時，原分式的值為零.
    [解析]當(dāng)時，分式的分母，分式無意義，談不上有值存在，出錯的原因是忽視了分母不能為零的條件.
    [正解]由由，得.
    由，得且.
    ∴當(dāng)時，原分式的值為零.
    七、錯在“且”與“或”的用法
    例7? 為何值時，分式
    有意義
    錯解：要使分式有意義，須滿足，即.
    由得，或由得
    .
     當(dāng)或時原分式有意義.
    分析：上述解法由得或
    是錯誤的.因為與中的一個式子成立并不能保證一定成立，只有與同時成立，才能保證一定成立.
    故本題的正確答案是且.
    八、錯在忽視特殊情況
    例8????????? 解關(guān)于的方程.
    錯解：方程兩邊同時乘以，得
    ，即.
    當(dāng)時，，
    當(dāng)時，原方程無解.
    分析：當(dāng)時，原方程變?yōu)?sub>
    取任何值都不能滿足這個方程，錯解只注意了對的討論，而忽視了的特殊情況的討論.
    正解：方程兩邊同時乘以，得，即
    當(dāng)且時，，當(dāng)或時，原方程無解.
    
    【分析】本題中有四個分式相加減，如果采用直接通分化成同分母的分式相加減，公分母比較復(fù)雜，其運算難度較大.不過我們注意到若把前兩個分式相加，其結(jié)果卻是非常簡單的.因此我們可以采用逐項相加的辦法.
    【解】=
    
    ????????????????????????????? =
    ????????????????????????????? =
    
    【知識大串聯(lián)】
    ??? 1．分式的有關(guān)概念
    ??? 設(shè)A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義
    ??? 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡
    2、分式的基本性質(zhì)
    ?（M為不等于零的整式）
    3．分式的運算
    ? (分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似)．
    ?? ?(異分母相加，先通分)；
    ??
    4．零指數(shù)?
    5．負(fù)整數(shù)指數(shù)?
    
    注意正整數(shù)冪的運算性質(zhì)??
    可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負(fù)整數(shù)．
    分式是初中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，其運算綜合性強(qiáng)，技巧性大，如果方法選取不當(dāng)，不僅使解題過程復(fù)雜化，而且出錯率高．下面通過例子來說明分式運算中的種種策略，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考．
    1．順次相加法
    例1：計算：
    【分析】本題的解法與例1完全一樣.
    【解】=
    ????????????????????????????? =
    ???????????????????????? ?????=
    2．整體通分法
    【例2】計算：
    【分析】本題是一個分式與整式的加減運算.如能把（-a-1）看作一個整體，并提取“-”后在通分會使運算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.
    【解】=
    =.
    3．化簡后通分
    
    分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計算會方便許多．
    
    
    4．巧用拆項法
    例4計算：.
    分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），聯(lián)想到，這樣可抵消一些項.
    解：原式
    =
    ????????? =
    ????????? ==
    
    5．分組運算法
    例5：計算：
    分析：本題項數(shù)較多，分母不相同.因此，在進(jìn)行加減時，可考慮分組.分組的原則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運算簡便.
    解：
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    ???? =
    【錯題警示】
    一、錯用分式的基本性質(zhì)
    例1????????? 化簡
    錯解：原式
    
    分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變”，而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).
    正解：原式
    
    二、錯在顛倒運算順序
    例2???????? 計算
    錯解：原式
    
    分析：乘除是同一級運算，除在前應(yīng)先做除，上述錯解顛倒了運算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯誤.
    正解：原式
    三、錯在約分
    例1? 當(dāng)為何值時，分式有意義？
    [錯解]原式.
    由得.
    ∴時，分式
    有意義.
    [解析]上述解法錯在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯誤.
    [正解]由得
    且.
    ∴當(dāng)且
    ，分式有意義.
    四、錯在以偏概全
    例2? 為何值時，分式
    有意義？
    [錯解]當(dāng)，得.
    ∴當(dāng)，原分式有意義.
    [解析]上述解法中只考慮的分母，沒有注意整個分母，犯了以偏概全的錯誤.
    [正解] ，得，
    由，得
    .
    ∴當(dāng)且時，原分式有意義.
    五、錯在計算去分母
    例3? 計算.
    [錯解]原式
    =.
    [解析]上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計算是等值代換，不能去分母，.
    [正解]原式
    .
    六、錯在只考慮分子沒有顧及分母
    例4? 當(dāng)為何值時，分式的值為零.
    [錯解]由，得
    .
    ∴當(dāng)或時，原分式的值為零.
    [解析]當(dāng)時，分式的分母，分式無意義，談不上有值存在，出錯的原因是忽視了分母不能為零的條件.
    [正解]由由，得
    .
    由，得且
    .
    ∴當(dāng)時，原分式的值為零.
    七、錯在“且”與“或”的用法
    例7? 為何值時，分式
    有意義
    錯解：要使分式有意義，須滿足，即
    .
    由得，或由
    得.
     當(dāng)
    或時原分式有意義.
    分析：上述解法由得
    或是錯誤的.因為與中的一個式子成立并不能保證一定成立，只有與同時成立，才能保證一定成立.
    故本題的正確答案是且
    .
    八、錯在忽視特殊情況
    例8????????? 解關(guān)于的方程
    .
    錯解：方程兩邊同時乘以，得，即
    .
    當(dāng)時，，
    當(dāng)時，原方程無解.
    分析：當(dāng)時，原方程變?yōu)?sub>取任何值都不能滿足這個方程，錯解只注意了對
    的討論，而忽視了的特殊情況的討論.
    正解：方程兩邊同時乘以，得
    ，即
    當(dāng)且時，
    ，當(dāng)或時，原方程無解.
    

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