暑假過后，新初三生們迎來了初中最重要的一年——初三。為方便2013年中考考生及家長查詢相關(guān)信息，出國留學網(wǎng)中考頻道特別搜集匯總了中考數(shù)學知識點以供參考：
所謂理論保級分數(shù)，就是指一般來講，一個參賽球隊只要達到了這個分數(shù)，無論別的球隊的成績?nèi)绾危寄鼙ＷC自己不會降級。這個分數(shù)無疑能給那些成績不佳的球隊的一個有效的參考，幫助他們調(diào)整策略。
當然，不僅是我國的足球聯(lián)賽，其它各個國家的足球聯(lián)賽，都會有保級分數(shù)的問題。
那么這個理論保級分數(shù)應該如何計算呢？怎樣找到一種普遍適用于各國足球聯(lián)賽的計算理論保級分數(shù)的方法呢？下面，我們建立一個數(shù)學模型解決這個問題?！?BR> 模型建立與分析
要想研究理論保級分數(shù)，就必須研究每支球隊在每場比賽中的成績。通過觀察各大聯(lián)賽的比賽情況，我們可以知道，球隊的實力對比賽結(jié)果有很大的影響。比如，實力差距比較大的兩支球隊比賽，實力強的一方獲勝的希望比較大。所以，如果討論聯(lián)賽的積分情況，就不能回避球隊實力的差異問題。
但是球隊的實力是一個很抽象的事物，不易計算和比較，為了能用數(shù)學語言描述它，可以為每個球隊引入一個參數(shù)，能夠較好的描述球隊的實力稱它為這個球隊的實力數(shù)，我們可以定義隨機變量X為一支球隊在某一場比賽中的結(jié)果。它可能有三種情況，即勝（積3分）、平（積1分）、負（積0分〕。我們可以統(tǒng)計出每場比賽中兩隊的勝、平、負的頻率（可近似地看成每種情況出現(xiàn)的概率）P，通過公式
求出一支球隊在每場比賽中的數(shù)學期望
。將所有比賽的數(shù)學期望值相加，就可以求出理論上這支球隊的最后積分。另外，應該注意到主客場的差異對比賽結(jié)果的影響。所以，如果主客場情況不同，相應的勝、負、平頻率也不同，數(shù)學期望值也就不同?！ ?BR> 一、模型假設(shè)1．假設(shè)參加某一聯(lián)賽的所有球隊的實力數(shù)由?。▽嵙姡┑酱螅▽嵈笕酰┛蓸?gòu)成一個等差數(shù)列。并且認為等差數(shù)列的首項為1，公差為1。由此，一個聯(lián)賽中的各個球隊可以分別用一個數(shù)字代替，即，將所有n支參賽球隊按實力由強到弱排列,則依次1,2,3,4，...,n。這樣每場比賽就有一個對應的實力數(shù)之差。如實力數(shù)為3和7的兩支球隊之間的比賽，實力差是4。
2．假設(shè)任何不可預知的因素與比賽結(jié)果無關(guān)。即比賽結(jié)果只與兩支球隊的實力差和主客場因素有關(guān)。如認為球隊3主場與球隊8的比賽，和球隊1主場與球隊6的比賽沒有任何區(qū)別。
3．假設(shè)統(tǒng)得出的每個實力差值對應的比勝、負、平的頻率等于在理論上這些情況出現(xiàn)的頻率?！?BR> 二、定義變量
：一支球隊在一場比賽中的數(shù)學期望值。
：一支球隊i在所有比賽中的數(shù)學期望值之和。n:參加聯(lián)賽的球隊總數(shù)。
m：聯(lián)賽結(jié)束后將要降級的球隊數(shù)目。
s：一場比賽中實力較強的球隊獲勝的概率。
p：一場比賽中實力較強的球隊戰(zhàn)平的概率?！?BR> f：一場比賽中實力較強的球隊失敗的概率。
解決問題
一、統(tǒng)計隨機變量X的分布
我們選取了英格蘭足球超級聯(lián)賽、德國足球甲級聯(lián)賽、意大利足球甲級聯(lián)賽、中國的甲級聯(lián)賽中1999～2000賽季的詳細情況，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)統(tǒng)計了當實力數(shù)差分別為1,2,3,...，19時，較強的一方獲勝、戰(zhàn)平、戰(zhàn)敗的頻率。如下表：（單位：％）
|
實力差 |
主場 |
客場 |
||||
|
勝 |
平 |
負 |
勝 |
平 |
負 |
|
|
1 |
53.03 |
21.21 |
25.76 |
24.63 |
36.92 |
38.46 |
|
2 |
47.54 |
21.31 |
31.15 |
26.23 |
39.34 |
34.43 |
|
3 |
42.63 |
19.30 |
28.07 |
22.22 |
39.34 |
34.43 |
|
4 |
60.38 |
16.98 |
22.64 |
37.25 |
31.37 |
31.37 |
|
5 |
38.00 |
22.00 |
10.00 |
38.00 |
26.00 |
36.00 |
|
6 |
38.00 |
12.00 |
20.00 |
34.00 |
28.00 |
38.00 |
|
7 |
60.95 |
14.63 |
24.39 |
36.59 |
36.59 |
26.83 |
|
8 |
71.05 |
10.53 |
18.42 |
34.29 |
34.29 |
31.43 |
|
9 |
72.73 |
15.15 |
1212 |
41.18 |
26.47 |
32.35 |
|
10 |
73.33 |
3.37 |
20.00 |
40.00 |
30.00 |
30.00 |
|
11 |
88.00 |
0.00 |
12.00 |
12.31 |
30.77 |
26.92 |
|
12 |
86.36 |
1.55 |
9.09 |
40.91 |
13.64 |
45.45 |
|
13 |
88.24 |
0.00 |
11.76 |
31.11 |
11.11 |
27.78 |
|
14 |
85.71 |
0.00 |
14.29 |
71.13 |
21.43 |
7.14 |
|
15 |
90.91 |
0.00 |
9.09 |
54.55 |
36.36 |
9.09 |
|
16 |
75.00 |
12.50 |
12.50 |
70.00 |
10.00 |
20.00 |
|
17 |
60.00 |
40.00 |
0.00 |
60.00 |
0.00 |
40.00 |
|
18 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
|
19 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
100.00 |
0.00 |
0.00 |
二、計算各隊的理論積分
有了這些數(shù)據(jù)之后，我們可以根據(jù)求隨機變量的數(shù)學期望的公式：
求出一支球隊在同比自己實力弱的球隊的比賽里的教學期望。即
當一支球隊和比自己實力強的球隊比賽時，實力較強球隊的戰(zhàn)敗概率就是實力較弱的球隊的獲勝概率。即
這樣一來，所有比賽的數(shù)學期望都能求出。也就是說，對于每一支球隊，其所有比賽數(shù)學期望值的和也能求出，我們用
表示實力數(shù)i的球隊的所有數(shù)學期望值的和（理論積分）。然后，將1～n這支球隊對應的
指從大到小依次排列成數(shù)列{
}，因為在世界各國的足球聯(lián)賽中對降級球隊數(shù)目的規(guī)定不同，有的是2支球以，有的是3支球隊。根據(jù)不同的情況，只要求出數(shù)列中相應的項（保級球隊中的最低分數(shù)）就是待求的理論保級分數(shù)值了。根據(jù)這種思路，我們使用VisualBasic6.0編制一個程序來計算理論保級分數(shù)。
算法簡要說明
1.輸入數(shù)據(jù)：將計算所需的變量n、m通過文本框Textl、Text2輸入程序中。
2.定義數(shù)組：將統(tǒng)計得出的s、p、f各概率值定義為三個數(shù)組s()、p()、以便賦值。再定義數(shù)列{
}為一個一維數(shù)組T(20)。3．對概率賦值：將統(tǒng)計得的概率數(shù)據(jù)賦至各個數(shù)組中?！ ?BR> 4．通過循環(huán)嵌套，計算最后每支球隊的理論積分，即各個數(shù)學期望之和。
5．將恰好保級的一支球隊的分數(shù)輸出之文本框Text3中?！ ?BR> 具體源代碼及說明（略）
運行源程序，得出下表數(shù)據(jù)：
|
參賽球隊數(shù) |
12 |
14 |
18 |
20 |
4 |
|
降級球隊數(shù) |
3 |
2 |
3 |
2 |
2 |
|
理論保級分數(shù) |
26.257 |
58.5259 |
34.5975 |
35.0691 |
8.1738 |
這樣，一般的足球聯(lián)賽都能通過這個程序求出理論保級分數(shù)。
驗證模型
以上，給出了足球聯(lián)賽中的理論保級分數(shù)的一種計算方法，這種方法是否理想？得出的結(jié)論能否令人滿意？下面，我們通過計算值與實際值的對比，來驗證這個模型。
首先，我們看2000年的甲A聯(lián)賽。下表是該賽季最終的排名情況。
|
排名 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
積分 |
56 |
50 |
44 |
41 |
40 |
35 |
34 |
|
排名 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
積分 |
32 |
32 |
31 |
29 |
29 |
23 |
17 |
去掉兩個降級球隊的分數(shù)，保級分數(shù)是29分。經(jīng)過上述算法，將n=14，m=2代入，計算得來的理論保級分數(shù)是28.5259分，可見，與實際保級分數(shù)相差不大?！?BR> 再看看上賽季意大利足球甲級聯(lián)賽,去掉3個降級的球隊,實際保級分數(shù)是36分。將n=18,m=3代入，計算的理論保級分數(shù)是34.5975分，與實際情況也相差不大?！ ?BR> 雖然用這個程序計算的保級分數(shù)有時會與實際分數(shù)有一點差距，但在大多數(shù)情況下，這個程序能夠較好地估計保級分數(shù)。
誤差分析
這個模型中可能產(chǎn)生誤差的地方有如下幾處：
一、在模型假設(shè)中，假設(shè)各球隊的實力數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列。這種假設(shè)與實際情況有一定差距。
二、在統(tǒng)計概率過程中，隨著n值不斷增大，能找到的比賽數(shù)量越來越少。所以在n較大時，統(tǒng)計出的頻率與理論上的頻率的偏差也就比較大。
三、在實際比賽中，很多其它因索，如天氣等都有可能影響比賽的結(jié)果。這個模型并沒有考慮這些因素，所以無法避免由此產(chǎn)生的誤差?！ ?BR> 由于以上幾種可能產(chǎn)生誤差的原因，這個模型計算的結(jié)果與實際保級分數(shù)有大約6分以下的差距。由于一般情況下這個模型計算的結(jié)果比較合適，所以認為這樣的誤差在可以接受的范圍內(nèi)。
參考資料
1．《問題解決的數(shù)學模型》，劉來福、曾文藝著，北京師范大學出版社。
2.《中學數(shù)學知識應用精編》，上海市中學生數(shù)學知識應用大競賽委員會編寫組著，華東理工大學出版社?！ ?BR> 3．《數(shù)學建模精品案例》，朱道元編著，東南大學出版社。
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