作為集合大小的定義，應(yīng)該滿足什么樣的基本要求?我們當(dāng)然要盡可能地使它符合一般的關(guān)于“大小”的常識(shí)和直覺，其中有許多是要比“整體大于部分”更加要緊的。首先，一個(gè)集合的大小只應(yīng)該取決于這個(gè)集合本身。
    我們知道一個(gè)集合可以用多種方法來構(gòu)造和表示，比如說，
    A={小于等于2的正整數(shù)｝
    B={1,2｝
    C={x2-3x+2=0的根｝
    其實(shí)都是同一個(gè)集合，
    D={n|n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數(shù)解｝
    又怎么樣呢?1996年英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個(gè)集合，它里面有兩個(gè)元素1和2。我們記得，一個(gè)集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。
    一個(gè)集合得和自己一樣大，這個(gè)沒有什么好說的;其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱滿足這三個(gè)條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系”(注：嚴(yán)格地說，這個(gè)偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個(gè)等價(jià)關(guān)系定義出的等價(jià)類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴(yán)格定義的敘述和上面所說的也有區(qū)別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個(gè)注在講什么也不要緊)。如果一個(gè)關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個(gè)定義的怪異程度一定會(huì)超過上面使用一一對(duì)應(yīng)原則的定義!
    舉個(gè)例子，比如說我對(duì)某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個(gè)偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個(gè)偏序關(guān)系并不要求任意兩個(gè)對(duì)象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級(jí)科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個(gè)人的事情，作為一個(gè)中國(guó)人，我對(duì)中國(guó)的科幻創(chuàng)作更感興趣——所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因?yàn)橄矚g的地方不一樣——所以更確切地也許應(yīng)該說，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個(gè)對(duì)象可以和兩個(gè)不能相互比較的對(duì)象中的每一個(gè)相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個(gè)。
    不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個(gè)集合的大小。所以，對(duì)于任何給定的兩個(gè)集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系”。
    最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個(gè)元素的集合要比有四個(gè)元素的集合大，在新的擴(kuò)充了的集合定義中也必須如此。這個(gè)要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴(kuò)充。
    “整體大于部分”原則的困難和一一對(duì)應(yīng)原則的優(yōu)點(diǎn)
    滿足上面幾條要求的定義，最簡(jiǎn)單的就是認(rèn)為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實(shí)是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學(xué)家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學(xué)家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點(diǎn)，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷——再說在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因?yàn)樗鶎?duì)應(yīng)的集合都是無限集合。
    如果我們?cè)谏厦鎺讞l要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會(huì)怎么樣呢?
    我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點(diǎn)，然后在上面我們每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)，并在每個(gè)點(diǎn)旁邊標(biāo)上1、2、3……等，這樣就有無窮個(gè)點(diǎn)。那么這個(gè)點(diǎn)集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個(gè)集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實(shí)是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點(diǎn)就是代表自然數(shù)的那些點(diǎn)，所以這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個(gè)數(shù)相同。而且，按照“整體大于部分”的規(guī)定，那些標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)的集合比所有點(diǎn)的集合要小。但是“一厘米”實(shí)在是非常人為的規(guī)定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個(gè)點(diǎn)，順著上面的思路，這些點(diǎn)的個(gè)數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點(diǎn)時(shí)標(biāo)有10、20、30……的點(diǎn)啊!那些點(diǎn)始終是一樣的，所以它們的個(gè)數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。
    再舉一個(gè)例子。假設(shè)我給你一個(gè)大口袋，里面有無限多個(gè)小口袋，上面按照自然數(shù)標(biāo)了號(hào)1、2、3……。在1號(hào)口袋中有1粒豆子，2號(hào)口袋中有2粒豆子，……依次類推?，F(xiàn)在我當(dāng)著你的面拿掉1號(hào)小口袋，那么剩下的小口袋數(shù)和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點(diǎn)，應(yīng)該是少了，少一條。但是如果我當(dāng)初就背著你拿掉1號(hào)口袋，然后從其他每個(gè)小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號(hào)碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會(huì)知道我做了手腳，因?yàn)檫@時(shí)大口袋里的東西和原來沒有任何區(qū)別，所以小口袋的數(shù)量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標(biāo)號(hào)不應(yīng)該改變口袋的數(shù)量。大家明白我是打了一個(gè)比方，大口袋就是一個(gè)集合。按照上面的要求，集合的大小只應(yīng)該取決于集合本身，而不應(yīng)該取決于集合的表示方法或構(gòu)造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應(yīng)該知道里面小口袋的數(shù)量，而不用知道我是否做過手腳。
    這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現(xiàn)，如果堅(jiān)持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時(shí)，比如比較自然數(shù)和正偶數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，符合“直觀”和“常識(shí)”。但是更多的非常直觀的東西和常識(shí)卻都會(huì)變成錯(cuò)誤的。比如說，x'=x+1這樣一個(gè)數(shù)軸上的坐標(biāo)平移，會(huì)將坐標(biāo)上的點(diǎn)集{1,2,3……｝變?yōu)閧2,3,4……｝，一個(gè)坐標(biāo)平移居然可以變動(dòng)點(diǎn)集中元素的個(gè)數(shù)!“元素可以一一對(duì)應(yīng)的兩個(gè)集合大小相同”這條原理的失效，會(huì)使得我們?cè)诒容^兩個(gè)元素很不相同的集合時(shí)無所適從：怎樣不使用一一對(duì)應(yīng)的方法來比較自然數(shù)和數(shù)軸上(0,1)區(qū)間中點(diǎn)的個(gè)數(shù)?
    在上面的兩個(gè)例子中我們會(huì)有這樣的感覺，對(duì)于無限集合來說，從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個(gè)點(diǎn)的例子，如果我們把不是10的倍數(shù)的點(diǎn)去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個(gè)點(diǎn)集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號(hào)口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個(gè)大口袋。這暗示了無限集合的一個(gè)重要特點(diǎn)：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實(shí)上，無限集合的一個(gè)定義就是“能和自己的一部分一一對(duì)應(yīng)的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因?yàn)檫@恰好就是無限集合的特征。
    如果使用一一對(duì)應(yīng)的比較方法，我們發(fā)現(xiàn)它滿足所有第二節(jié)中提出的關(guān)于集合大小定義的要求。而且除了“整體大于部分”這個(gè)我們已經(jīng)解釋過的不適用的原則外，不違反其他的直覺和常識(shí)。事實(shí)上用一一對(duì)應(yīng)的方法來比較兩個(gè)集合的大小，也是非常符合直觀的。如果有兩盒火柴，我們想比較哪盒中的火柴數(shù)量更多，我們大可不必去數(shù)出每盒中火柴的數(shù)量，那樣很容易出錯(cuò)。其實(shí)只要從不斷地從兩盒火柴中拿掉相同數(shù)量的火柴，最后如果同時(shí)兩盒都不剩下火柴，那么就說明數(shù)量一樣多，否則就是還剩有火柴的那盒比較多。
    而更重要的是，這樣的定義非常有用。康托爾在提出他關(guān)于集合的基數(shù)理論后，非常簡(jiǎn)潔地證明了“幾乎所有實(shí)數(shù)都是超越數(shù)”，而那個(gè)時(shí)候數(shù)學(xué)家連一個(gè)超越數(shù)的實(shí)例都還沒有找到!引起第三次數(shù)學(xué)革命的羅素悖論也是從基數(shù)理論中產(chǎn)生出來的。雖然集合的基數(shù)理論現(xiàn)在已經(jīng)為一般的數(shù)學(xué)系學(xué)生和許多數(shù)學(xué)愛好者所熟悉，數(shù)學(xué)家們還是能從中找到非常有趣和深?yuàn)W的課題，比如說“超大集合理論”，這是關(guān)于一些基數(shù)大得匪夷所思的集合的理論。我們知道對(duì)于任何一個(gè)集合A，它的冪集P(A)(也就是它所有子集構(gòu)成的集合)一定比它本身大，所以我們可以構(gòu)造一系列的集合A，P(A)，P(P(A))……一個(gè)比一個(gè)大，所以沒有最大的集合。而“超大集合理論”聲稱，存在一個(gè)集合B，比前面這一系列集合中的每個(gè)都要大!
    所以說，使用一一對(duì)應(yīng)原則來定義集合大小，是數(shù)學(xué)家迫不得已和最佳的選擇。
    直覺的合理性和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
    在文章的最前面我們提到過，從直覺上說來，自然數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是正偶數(shù)的兩倍，這里難道沒有一點(diǎn)合理的因素在內(nèi)嗎?有時(shí)我們會(huì)聽到數(shù)學(xué)家說：“幾乎所有的自然數(shù)都不是素?cái)?shù)。
    ”如果按照一一對(duì)應(yīng)的原則，素?cái)?shù)和自然數(shù)是一樣多的(第一個(gè)素?cái)?shù)2對(duì)應(yīng)1，第二個(gè)素?cái)?shù)3對(duì)應(yīng)2，第三個(gè)素?cái)?shù)5對(duì)應(yīng)3，……第n個(gè)素?cái)?shù)對(duì)應(yīng)n，……)，這不矛盾嗎?
    數(shù)學(xué)并不依賴于直覺，但是尊重直覺，直覺中常常包含著合理的因素。受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人對(duì)數(shù)學(xué)的直覺一般來說要比其他人更有合理性，數(shù)學(xué)大師能夠用直覺把握住很深刻的數(shù)學(xué)理論，他們有時(shí)會(huì)說：“雖然我還沒有一個(gè)嚴(yán)格證明，但是我知道它是對(duì)的。”數(shù)學(xué)大師的直覺當(dāng)然不是每個(gè)人能模仿的，但是我們的確可以改變對(duì)一些數(shù)學(xué)物體的想像方法，來改善自己的直覺，使得它更有合理性。
    當(dāng)我們談到集合的大小，這里所談?wù)摰募蠎?yīng)該是沒有附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的。當(dāng)所比較的集合都是自然數(shù)的子集時(shí)，直覺往往會(huì)偷偷地把自然數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加在上面。什么是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?讓我們先從最一般的集合說起。當(dāng)我們談?wù)摷蠒r(shí)，我們只應(yīng)該把它看做一個(gè)裝著元素的大袋子，里面的元素之間沒有任何聯(lián)系，比如說自然數(shù)集合，我們應(yīng)該想像那是一個(gè)裝了標(biāo)了號(hào)的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之間并沒有什么聯(lián)系，10并不一定非得在100的前面出現(xiàn)，如果你把口袋使勁抖抖，里面的球有些翻上來有些被壓到底下去，但這并不改變這個(gè)集合——這仍然是自然數(shù)集合。
    所謂的結(jié)構(gòu)，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動(dòng)。建筑工地上搭的腳手架就是一種結(jié)構(gòu)，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會(huì)把它們都拆下來再拿到另一個(gè)工地上去安裝使用，雖然構(gòu)成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個(gè)了，變化了的其實(shí)是結(jié)構(gòu)。
    數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也一樣。比如說上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗(yàn)證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說的偏序關(guān)系的三個(gè)條件，而且每?jī)蓚€(gè)自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個(gè)全序關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就給了自然數(shù)集合一個(gè)結(jié)構(gòu)，就叫序結(jié)構(gòu)。你可以把擁有全序結(jié)構(gòu)的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個(gè)裝了球的袋子，只是這時(shí)候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時(shí)我們想像自然數(shù)集合，可能會(huì)把它想成數(shù)軸上離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn)的一串點(diǎn)，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺地，我們已經(jīng)把序結(jié)構(gòu)想像進(jìn)去了。當(dāng)我們感到“正偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)個(gè)數(shù)的一半，因?yàn)槊扛粢粋€(gè)數(shù)就有一個(gè)是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實(shí)實(shí)地和奇數(shù)球一個(gè)隔一個(gè)地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個(gè)”的。
    在考慮到自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)后，我們就可以給“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”這種直覺一個(gè)合理的解釋了?？紤]小于100的正偶數(shù)，一共有49個(gè)，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結(jié)果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數(shù)字，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會(huì)越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個(gè)子集，令p(n)為A中小于n的元素的個(gè)數(shù)，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，p(n)/n的極限)為A相對(duì)于自然數(shù)集合的大小。在這個(gè)定義下，正偶數(shù)集合相對(duì)于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素?cái)?shù)集合相對(duì)于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素?cái)?shù)”。用上面這個(gè)方法還可以比較兩個(gè)自然數(shù)集合的子集的相對(duì)大小，具體方法就由讀者自己來思考了。
    如果沒有自然數(shù)序結(jié)構(gòu)這個(gè)“背景”，我們就只能夠使用一一對(duì)應(yīng)的方法來討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個(gè)數(shù)是正偶數(shù)的個(gè)數(shù)的兩倍”的直覺只是一種錯(cuò)覺。比如說考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點(diǎn)所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個(gè)點(diǎn)，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個(gè)點(diǎn)，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點(diǎn)，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會(huì)兒“一樣多”一會(huì)兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等于無窮大”這種我們按照一一對(duì)應(yīng)原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點(diǎn))。
    除了序結(jié)構(gòu)外，還有其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。法國(guó)著名的布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以混雜在一起得出不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，比如說實(shí)數(shù)集上有比較大小的序結(jié)構(gòu)，還有由算術(shù)運(yùn)算(加和乘，減和除是它們的逆運(yùn)算)定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點(diǎn)必須在另一些點(diǎn)的“附近”)定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派試圖用結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)來統(tǒng)一數(shù)學(xué)，出版了著名的《數(shù)學(xué)原理》。結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)大致來說，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定數(shù)學(xué)對(duì)象。兩個(gè)分別定義在兩個(gè)不同集合上的數(shù)學(xué)對(duì)象，如果它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實(shí)也是同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。在數(shù)學(xué)中我們有時(shí)會(huì)碰到“同構(gòu)”這個(gè)詞，就是指在某種一一映射下，兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同。
    舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過復(fù)數(shù)和它的幾何表示法，知道每個(gè)復(fù)數(shù)都可以對(duì)應(yīng)到直角坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)，而復(fù)數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個(gè)復(fù)數(shù)是a+bi這樣的一對(duì)數(shù)，還是平面上的一個(gè)點(diǎn)(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對(duì)數(shù)和一個(gè)點(diǎn)是完全不同的兩樣?xùn)|西，只要在實(shí)數(shù)對(duì)集合和平面點(diǎn)集上面由加法和乘法決定代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的，它們都可稱作是復(fù)數(shù)，是同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。相反地，如果我們?cè)谄矫嫔隙x另一種乘法為(a1,b1)*(a2,b2)=((a1*a2,b1*b2)，那么盡管平面上的點(diǎn)仍舊是那些，但是因?yàn)樵谏厦嫠x的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象了。
    象上面這樣的例子中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相同當(dāng)然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數(shù)學(xué)理論，比如說著名的龐加萊猜想(新千年的七大數(shù)學(xué)問題之一，價(jià)值百萬美金:-))就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說，是否給定了“閉單連通”這個(gè)條件，在3維流形上就只能有一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也就是3維球的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?另外，證明兩個(gè)原來似乎沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)其實(shí)是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象其實(shí)是同一種東西，對(duì)于其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象成立的理論，可以立刻應(yīng)用在另一個(gè)上面;以往用來研究一種數(shù)學(xué)對(duì)象的方法，就可以被用來研究另一類數(shù)學(xué)對(duì)象。本文開頭說到英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，他證明的其實(shí)是更一般的“谷山-志村猜想”。這個(gè)猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。
    最后舉個(gè)搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現(xiàn)了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍(lán)貓的廣告，構(gòu)成畫面的元素不同，一個(gè)是機(jī)器人，一個(gè)是藍(lán)貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結(jié)構(gòu)卻相同，也算是個(gè)不光彩的“同構(gòu)”例子吧。
    “一個(gè)平面上的點(diǎn)應(yīng)該比一條直線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)多”這樣的直覺也可以用附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來解釋合理性。當(dāng)我們想像直線或平面上的點(diǎn)時(shí)，我們不但想像了那些點(diǎn)集，同時(shí)也在想像著這些點(diǎn)集構(gòu)成的直線和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點(diǎn)了，它們的排列非常有規(guī)律。換句話說，我們?cè)邳c(diǎn)集上增加了決定直線和平面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果我們把直線和平面看作是實(shí)數(shù)域上的線性空間(關(guān)于線性空間的理論是線性代數(shù)，所有理科的學(xué)生會(huì)在大學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí))，我們就遇見了一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：首先我們需要一個(gè)實(shí)數(shù)域，上面有一個(gè)域的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次我們?cè)谥本€和平面的點(diǎn)集上定義了一個(gè)交換群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，最后在實(shí)數(shù)域和交換群上定義了稱作“數(shù)乘”的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)同域和交換群上的各種運(yùn)算都兼容，這樣我們最終得到了這個(gè)被稱為“實(shí)數(shù)域上的線性空間”的代數(shù)結(jié)構(gòu)。上面這一串話也許有點(diǎn)復(fù)雜，但是中心思想就是上面所說的結(jié)構(gòu)主義的思想：數(shù)學(xué)對(duì)象是由各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)混雜在一起(當(dāng)然要合理地混雜在一起，上面所說的“兼容”就是這個(gè)意思)而得到的。一旦我們這樣規(guī)定了線性空間的結(jié)構(gòu)，我們就可以定義線性空間的維數(shù)，這時(shí)我們可以說，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。
    從上面兩個(gè)例子我們看到，當(dāng)集合中的元素只是被看做一個(gè)沒有任何數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的集合中散亂的元素時(shí)，我們只能用一一對(duì)應(yīng)的方法來比較集合的大小;而當(dāng)豐富多彩的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被加在集合上時(shí)，我們才有可能用更精細(xì)和更符合直覺的手段來定義不同的比較(附加有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的)集合大小的方法。
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