三角形中線的應(yīng)用例談
    湖北省孝感市洑水初中　王官清
    
    三角形的中線是與三角形有關(guān)線段的重要線段。三角形的中線在解決和三角形面積有關(guān)的問題中常常發(fā)揮重要作用。
    
    如圖1，連接三角形ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得線段AD叫△ABC的邊BC上的中線。∴BD=CD=BC . AE⊥BC于E，即AE是△ABC的邊BC上的高。同時(shí)AE也是△ABD、△
    ACD的高。
    根據(jù)三角形的面積公式，三角形ABC的面積為，即.
    △ABD、△ACD的面積可表示為：
    ，
    ，
    所以△ABD、△
    ACD的面積相等，都等于△ABC面積的一半。
    結(jié)論一：三角形的一邊的中線把這個(gè)三角形分成面積相等的兩部分。
    例1? 如圖2，AD、BE是△ABC的兩條中線。AD、BE交于G，試比較△BGD和△AGE面積的大小。
    
    析解：因?yàn)锳D、BE是△ABC的兩條中線，根據(jù)結(jié)論一，三角形ADC的面積等于三角形ABC的面積的一半，三角形BCE的面積也等于三角形ABC的面積的一半。所以=
    ，所以，即.所以△BGD和△AGE的面積相等。
    引申：連接GC，則GD是三角形GBC的中線，GE是三角形AGC的中線，根據(jù)上面結(jié)論一，有，，而，
    所以，
    ，所以
    結(jié)論二：連接三角形的中線的交點(diǎn)和這個(gè)三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)所組成的三角形的面積等于這個(gè)三角形面積的.
    例2 （2009賀州）如圖3-1，正方形ABCD的 邊長(zhǎng)為1，E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積。
    
    分析：圖中陰影部分是不規(guī)則四邊形，須作輔助線轉(zhuǎn)化為規(guī)則四邊形或三角形。更重要的是要考慮中點(diǎn)的運(yùn)用。
    解：如圖3-2，連接BD，則三角形BCD的面積= ,
    根據(jù)上述結(jié)論二，△ BOD的面積等于△BCD的面積的，
    即，
    ∴陰影部分的面積=.
    點(diǎn)評(píng)：求不規(guī)則圖形的面積往往是作輔助線轉(zhuǎn)化為三角形加以分析。圖中三角形BDO的面積是和三角形BDC的中線有關(guān)的，記住上面的兩個(gè)結(jié)論，能夠迅速巧妙的求解此題。
    
    

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