重新認(rèn)識(shí)“鐘面角”
    湖北省黃石市下陸中學(xué)　宋毓彬
    
    日常生活中，我們幾乎每天都要看鐘表，然而我們對(duì)鐘表表面上的時(shí)針、分針、秒針之間的夾角（即“鐘面角”）問(wèn)題可能并沒(méi)有在意．其實(shí)鐘面角中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們一起來(lái)探究一下“鐘面角”問(wèn)題吧．
    一、認(rèn)識(shí)“鐘面角”
    要分析鐘面角，我們首先要結(jié)合其圖形特點(diǎn)，尋找并發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律．
    ⑴鐘表的表面特點(diǎn)
    ：鐘表的表面都是一個(gè)圓形，共有12個(gè)大格，每個(gè)大格間有5個(gè)小格．圓形的表面恰好對(duì)應(yīng)著一個(gè)周角360°，每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°角，每個(gè)小格對(duì)應(yīng)6°角．表面一般有時(shí)針、分針、秒針三根指針．
    ⑵鐘表時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)情況：時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)1大格，每12分鐘轉(zhuǎn)1小格，每12個(gè)小時(shí)轉(zhuǎn)1個(gè)圓周；分針每5分鐘轉(zhuǎn)一大格，每1分鐘轉(zhuǎn)1小格，每小時(shí)轉(zhuǎn)1個(gè)圓周；秒針5秒鐘轉(zhuǎn)1大格，每1秒鐘轉(zhuǎn)1小格，每1分鐘轉(zhuǎn)一個(gè)圓周．
    ⑶時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)速：有了以上的認(rèn)識(shí)，我們很容易計(jì)算出相應(yīng)指針的轉(zhuǎn)速：①鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)速為：30°/小時(shí)或0.5°/分鐘；②分針的轉(zhuǎn)速為：6°/分鐘或0.1°/秒鐘；③秒針的轉(zhuǎn)速為：6°/秒．
    有了這些對(duì)鐘面角的基本認(rèn)識(shí)，我們就可以探究與鐘面角有關(guān)的問(wèn)題了．
    二、解決與鐘面角有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題
    　?、庇?jì)算從某一時(shí)刻到另一時(shí)刻，時(shí)針（分針）轉(zhuǎn)過(guò)的角度
    ⑴公式法：時(shí)（分）針從某一時(shí)刻到另一時(shí)刻轉(zhuǎn)過(guò)的角度=時(shí)（分）針轉(zhuǎn)過(guò)的時(shí)間×?xí)r（分）針的轉(zhuǎn)速（注意統(tǒng)一單位）．
    ⑵觀察法：若時(shí)（分）針轉(zhuǎn)過(guò)了a大格b小格，則時(shí)（分）針從某一時(shí)刻到另一時(shí)刻轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：30a+6b°．
    例1.⑴從3：15到7：45，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)??????? 度．
    ⑵從1：45到2：05，分針轉(zhuǎn)過(guò)
    ??????? 度．
    分析：⑴從3：15到7：45，時(shí)針走過(guò)的時(shí)間為4.5小時(shí)（270分鐘），∴時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）
    ??? 或用觀察法：時(shí)針共走了4大格2.5小格，∴時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：4×30+2.5×6=135°．
    ⑵從1：45到2：05，分鐘走過(guò)的時(shí)間為20分鐘，∴分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：20×6°=120°．
    ??? 或用觀察法：分針共走了4個(gè)大格（或20小格）∴分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．
    　?、灿?jì)算某一時(shí)刻時(shí)針（分針）與分針（秒針）之間的夾角
    ⑴求差法：以0點(diǎn)（12時(shí)）為基準(zhǔn)到某一時(shí)刻止，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度與分針在整點(diǎn)后的時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)的角度差，即時(shí)針、分針之間的夾角．
    ⑵觀察法：某一時(shí)刻時(shí)針、分針相差a個(gè)大格b個(gè)小格，時(shí)針?lè)轴樀溺娒娼?30a+6b°．
    例2．⑴4：00點(diǎn)整，時(shí)針、分針的夾角為???????? ．
    ???? ⑵11：40，時(shí)針、分針的夾角為????????? ．
    分析：⑴4：00整，時(shí)針、分針相差4個(gè)大格，夾角為：4×30°=120°．
    ⑵①作差法：11：40，以0點(diǎn)（12時(shí)）為基準(zhǔn)
    時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：11×30°=350°
    分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：40×6°=240°
    ∴時(shí)針、分針的夾角為：350°－240°=110°
    ②觀察法：11：40分針、時(shí)針相隔3
    個(gè)大格，∴時(shí)針、分針的夾角為：3×30°=110°
    　?、城髸r(shí)針、分針成特殊角時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間
    方程思想：時(shí)針、分針成特殊角時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間問(wèn)題，通常以0點(diǎn)（12時(shí)）為基準(zhǔn)將時(shí)針、分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度可看成一個(gè)追及問(wèn)題，從而借助方程進(jìn)行求解．
    相等關(guān)系：①整點(diǎn)后分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度－整點(diǎn)后時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度=整點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針的夾角（分針需追趕的角度）+a時(shí)x分分針與指針的夾角（分針應(yīng)多轉(zhuǎn)的角度）
    ②或：分針整點(diǎn)后轉(zhuǎn)過(guò)的角度—時(shí)針從0點(diǎn)基準(zhǔn)到現(xiàn)在時(shí)刻轉(zhuǎn)過(guò)的角度=所成的特殊角
    例3．你能用一元一次方程解決下面的問(wèn)題嗎？（課本習(xí)題P114頁(yè)第8題）
    在3時(shí)和4時(shí)之間的哪個(gè)時(shí)刻，鐘的分針與時(shí)針：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．
    
    分析：⑴重合：設(shè)3時(shí)x分時(shí)針、分針重合．3時(shí)整，時(shí)針、分針的夾角為90°．即在后x分鐘，分針要比時(shí)針多走90°，分針才能追及時(shí)針重合．
    ???? 從3時(shí)整到3時(shí)x分，分針走過(guò)6x度角，時(shí)針走過(guò)0.5x度角．依題意有
    ???? 6x－0.5x=90??????????? 解得：x≈16
    ⑵分針與時(shí)針成平角：設(shè)3時(shí)x分時(shí)針、分針成平角，即在后x分鐘，分針先要多走90°追及時(shí)針，然后還要比時(shí)針多走180°．依題意有
    ???? 6x－0.5x=90+180??????? 解得：x≈49
    ⑶分針與時(shí)針成直角：應(yīng)分兩種情況討論．
    ①分針在時(shí)針的順時(shí)針?lè)较虼怪保藭r(shí)鐘面角為90°．即在后x分鐘，分針先要多走90°追及時(shí)針，然后還要比時(shí)針多走90°．依題意有
    ???? 6x－0.5x=90+90180??????? 解得：x≈33
    ②分針在時(shí)針的逆時(shí)針?lè)较虼怪保藭r(shí)鐘面角為270°．即在后x分鐘，分針先要多走90°追及時(shí)針，然后還要比時(shí)針多走270°．依題意有
    ???? 6x－0.5x=90+90180??????? 解得：x≈65（不合題意，舍去）
    　?、寸娒娼堑木C合應(yīng)用
    例4.在一個(gè)圓形時(shí)鐘的表面，OA表示秒鐘，OB表示分鐘（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．若現(xiàn)在時(shí)間恰好是12點(diǎn)整，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少秒后，△OAB的面積第一次達(dá)到最大？
    分析：△OAB的面積最大，設(shè)OA邊上的高為h，則h總小于等于OB，只有當(dāng)OA⊥OB時(shí)，h=OB，此時(shí)△OAB的面積最大．
    12點(diǎn)整，分針、秒針重合，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，分針、秒針第一次垂直，△OAB的面積第一次達(dá)到最大．此時(shí)秒針走過(guò)角度為6x，分針走過(guò)的角度為0.1x．依題意有
    6x—0.1x=90?????? 解得x=15
    即經(jīng)過(guò)15秒后，△OAB的面積第一次達(dá)到最大．
    
    

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