構造性輔助線四例
    湖北省黃石市下陸中學　宋毓彬
    
    在幾何證明中除常見的連接、延長、作平行、作垂直等輔助線之外，還有一種作輔助線的思路，就是通過巧妙的幾何變換構造出全等或是特殊圖形。這種作輔助線方法我們通常稱為構造性輔助線。
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    一、翻折構造
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    例1　如圖1，在等腰直角△ABC的斜邊AB上，取兩點M、N，使∠MCN=45°，記AM=m，MN=x，BN=n。則以x、m、n為邊長的三角形的形狀是（???? ）
    
    A.銳角三角形；??? B.直角三角形；
    C.鈍角三角形；??? D.隨x、m、n變化而變化
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    分析：⑴要判斷以x、m、n為邊長的三角形的形狀，關鍵是要設法將這三條線段長集中到同一個三角形中；
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    ⑵如何用好已知條件中的∠MCN=45°，應同時考慮∠ACM+∠BCN=45°。
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    ⑶為將長為x、m、n的三條線段集中，可考慮將△ACM沿CM翻折（如圖），這樣可將m、x兩條線段集中。再連接PN，若能證明PN=BN，則長為x、m、n的三條線段就集中到了△PMN中。
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    由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°∴∠BCN=∠PCN，
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    可證△BCN≌△PCN，PN=BN=n。
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    ∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°?∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°
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    ∴以x、m、n為邊長的三角形的形狀直角三角形。
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    提示：當要證的結論需集中某些線段，且圖形中出現(xiàn)了等量角的關系、角的平分線等條件時，可考慮翻折構造。
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    二、旋轉構造
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    例2　如圖2，已知O是等邊三角形△ABC內(nèi)一點，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度數(shù)之比為6∶5∶4，在以OA、OB、OC為邊的三角形中，求此三邊所對的度數(shù)。
    
    分析：⑴解決此題的關鍵依然是要將OA、OB、OC三條線段集中到同一個三角形中。
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    ⑵考慮到等邊三角形的的特點，若將△AOB繞A點旋轉60°到△AMC，因為△AOM為等邊三角形，MO=AO，又OB=MC，則OA、OB、OC就集中到了△COM中。OA、OB、OC為三邊所對的角即為求△COM的三個內(nèi)角。
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    由∠AOB、∠BOC、∠AOC的度數(shù)之比為6∶5∶4，設∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x
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    則有6x+5x+4x=360°，x=24°，
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    ∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°?由∠AOM=∠AMO=60°
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    ∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=36°；∠OMC=∠AMC-∠AMO=84°
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    ∠ACM=180°-（∠MOC+∠OMC）=60°
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    ∴以OA、OB、OC為邊的三角形三邊所對的度數(shù)分別為：60°、36°、84°。
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    提示：旋轉構造一般多用于等邊三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是應同時考慮到旋轉后的對應邊能夠重合，旋轉角度能構成特殊角等兩個條件。
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    三、軸對稱構造
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    例3　如圖3，∠AOB=45°，角內(nèi)有點P，PO=10，在兩邊上有點Q、R（均不同于O），則△PQR的周長的最小值是??????????? 。
    
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    分析：⑴要確定△PQR的周長最小，關鍵是如何確定Q、R的位置。而只有利用軸對稱將折線段化為直線段才能求出最小值。
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    ⑵已知條件中∠AOB=45°，如果分別作P關于OA、OB的對稱點M、N，連OM、ON，根據(jù)軸對稱性質則有∠MON=90°，可構造出直角三角形。
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    作P關于OA、OB的對稱點M、N，連MN與OA、OB的交點Q、R，由軸對稱性質，此時△PQR的周長的最小，最小周長等于線段MN的長度。
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    連OM、ON。由軸對稱性質，OM=OP=ON=10，∠MON=90°，MN=10
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    提示：一般地，求證幾條折線段之和的問題通常考慮作軸對稱，將折線段轉化為直線段。
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    四、特殊構造
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    例4　如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD。求證：BD²=AB²+BC²。
    
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    分析：⑴所求證的關系為平方形式，聯(lián)想到構造直角三角形運用勾股定理求證?！螦BC=30°，已BC為邊向外作等邊三角形△BCE，則可得到∠ABE=90°，BC=BE，可將AB
    ²+BC²轉化為直角三角形△ABE中AB²+BE²。這樣只需證明AE=BD即可。
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    ⑵由∠ADC=60°，AD=CD，連接AC，則△ADC為等邊三角形。易觀察到易證△DCB≌△ACE，于是AE=BD。
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    提示：根據(jù)題設條件中的特殊角構造特殊圖形（等邊三角形、直角三角形、正方形等），也是幾何證明中常用的輔助線。
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    作者簡介：宋毓彬，男，42歲，中學數(shù)學高級教師。在《中學數(shù)學教學參考》、《數(shù)理天地》、《中學生數(shù)學》、《數(shù)理化學習》、《數(shù)理化解題研究》、《中學課程輔導》、《數(shù)學周報》、《數(shù)學輔導報》等報刊發(fā)表教學輔導類文章40多篇。主要致力于初中數(shù)學中考及解題方法、技巧等教學方面的研究。
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    （發(fā)表于《中學生數(shù)學》2010年1月第1期）
    
    

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