宋代是中國古代數(shù)學的最繁盛時期，是中國古代數(shù)學的顛峰。公元1084年北宋政府秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，為宋朝數(shù)學發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。宋朝涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學家，出現(xiàn)了大批有份量的數(shù)學著作。宋代最抽象的數(shù)學成就極高，在希臘文明與西方之間的空白地帶鶴立雞群。宋的代數(shù)學充分發(fā)揮了絕對化的方法，把漢代方程解法的組合變換式發(fā)展到了一個奇妙的境界，不但在解法上解決了很多問題，也提出了高次方程、虛根等問題。西方的方程學在幾個世紀之后才出現(xiàn)。宋的方程學是一個發(fā)達的數(shù)學學科。
    沈括創(chuàng)立了“隙積術(shù)”和“會圓術(shù)”。沈括通過對堆積的酒壇和壘起的棋子之類有空隙的堆積體的研究，提出了求它們的總數(shù)的方法，這就是“隙積術(shù)”，“隙積術(shù)”其實質(zhì)是高階等差級數(shù)求和，他是中國第一個高階級等差級數(shù)。沈括還從計算田畝出發(fā)，考察了圓弓形中弧、弦和矢之間的關(guān)系，提出了由弦和矢的長度求弧長的近似公式，這就是“會圓術(shù)”。會圓術(shù)是一個幾何問題，把勾股定理用于從弓行的弦、和矢求弧長。隙積術(shù)和會圓術(shù)是后世垛積術(shù)及弧矢割圓術(shù)之先河，為中國古代數(shù)學開辟了新的研究方向。
    宋朝著名數(shù)學家賈憲在《黃帝九章算法細草》中提出開任意高次冪的“增乘開方法”，“增乘開方法”用于求解高次方程，是在求得一位商后即以之乘高次未知數(shù)的系數(shù)加入新方程一次項系數(shù)。在作法上把商、常數(shù)項、新方程一次項系數(shù)和高次未知數(shù)系數(shù)分別排列，再用上法對這個組合進行變換。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”;在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍。西方七百年后1819年才由英國人霍納發(fā)明了同樣的方法。賈憲的二項式定理系數(shù)表與17世紀歐洲出現(xiàn)的“巴斯加三角”是類似的。
    南宋杰出的數(shù)學家秦九韶，公元1247年在《數(shù)書九章》中將“增乘開方法”加以推廣，論述了高次方程的數(shù)值解法，并且例舉20多個取材于實踐的高次方程的解法。16世紀意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同余式理論進行過研究。秦九韶還推廣了孫子定理，他的“大衍求一術(shù)”將孫子定理的方法從較小的數(shù)和較少的同余式個數(shù)推廣到一般解法。秦九韶的大衍求一術(shù)整數(shù)論中一次同余式的解法，比歐洲的尤拉和高斯的有關(guān)研究要早500年。秦九韶還得出了與希臘海倫公式等價的從三角形三邊求面積的公式。劉益的“益積術(shù)”、“減從術(shù)”也是對系數(shù)組合進行變換的技術(shù)。數(shù)學家李冶公元1248年發(fā)表《測圓海鏡》，該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作，在數(shù)學史上具有里程碑意義。數(shù)學家楊輝公元1261年在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類高階等差級數(shù)之和，給出了幾種高階級數(shù)的求法。公元1274年在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運算法。此外楊輝還發(fā)展了九宮圖，他作了圓、直線交叉的組合。使宋在組合數(shù)學上也有進步。楊輝在數(shù)學組合上指出4×4數(shù)學方陣上交換對角結(jié)果，可惜他以后沒有進一步發(fā)展。
    數(shù)學在宋代已經(jīng)開始得到重視，數(shù)學的研究成果在宋朝已開始有應用的環(huán)境了。沈括說“算術(shù)不患多學，見簡即用，見繁即變，不膠一法，乃為通術(shù)也?！睌?shù)學家秦九韶認為數(shù)學的研究成果“可以經(jīng)世務，悉萬物”，“竊嘗設(shè)為問答以擬于用的”。數(shù)學家李冶公開批判輕視科學實踐活動，將數(shù)學貶為“賤技”、“玩物”等長期存在的士風謬論。他說“術(shù)雖居六藝之末，而施人之事，則要實惠得多?！敝袊臄?shù)學在宋代領(lǐng)先西方幾個世紀。遺憾的是宋以后中國的數(shù)學開始衰落，雖然在元朝中國古代數(shù)學還有持續(xù)的零星發(fā)展，但中國數(shù)學整體的已沒有繼續(xù)、發(fā)展運用的大環(huán)境了。如今的宋朝數(shù)學成就只有依稀從有幸流傳下來書籍的支言片言中窺其一二，所以明代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》記載的線性方程求解不能自圓其說，因為這只是記下了宋代科學家對其的一個結(jié)論.
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