人教版高二數(shù)學上冊必修3《基本算法語句》教案
本章教材分析
算法是數(shù)學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎(chǔ).算法的應用是學習數(shù)學的一個重要方面.學生學習算法的應用,目的就是利用已有的數(shù)學知識分析問題和解決問題.通過算法的學習,對完善數(shù)學的思想，激發(fā)應用數(shù)學的意識,培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，增強進行實踐的能力等，都有很大的幫助.
本章主要內(nèi)容：算法與程序框圖、基本算法語句、算法案例和小結(jié).教材從學生最熟悉的算法入手，通過研究程序框圖與算法案例，使算法得到充分的應用，同時也展現(xiàn)了古老算法和現(xiàn)代計算機技術(shù)的密切關(guān)系.算法案例不僅展示了數(shù)學方法的嚴謹性、科學性，也為計算機的應用提供了廣闊的空間.讓學生進一步受到數(shù)學思想方法的熏陶，激發(fā)學生的學習熱情.
在算法初步這一章中讓學生近距離接近社會生活，從生活中學習數(shù)學，使數(shù)學在社會生活中得到應用和提高，讓學生體會到數(shù)學是有用的，從而培養(yǎng)學生的學習興趣.“數(shù)學建模”也是高考考查重點.
本章還是數(shù)學思想方法的載體，學生在學習中會經(jīng)常用到“算法思想” “轉(zhuǎn)化思想”，從而提高自己數(shù)學能力.因此應從三個方面把握本章：
(1)知識間的聯(lián)系;
(2)數(shù)學思想方法;
(3)認知規(guī)律.
本章教學時間約需12課時，具體分配如下(僅供參考)：
1.1.1 算法的概念 約1課時
1.1.2 程序框圖與算法的基本邏輯結(jié)構(gòu) 約4課時
1.2.1 輸入語句、輸出語句和賦值語句 約1課時
1.2.2 條件語句 約1課時
1.2.3 循環(huán)語句 約1課時
1.3算法案例 約3課時
本章復習 約1課時
1.1 算法與程序框圖
1.1.1 算法的概念
整體設(shè)計
教學分析
算法在中學數(shù)學課程中是一個新的概念，但沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了如下描述：“在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.”為 了讓學生更好理解這一概念，教科書先從分析一個具體的二元一次方程組的求解過程出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法.教學中，應從學生非常熟悉的例子引出算法，再通過例題加以鞏固.
三維目標
1.正確理解算法的概念,掌握算法的基本特點.
2.通過例題教學，使學生體會設(shè)計算法的基本思 路.
3.通過有趣的實例使學生了解算法這一概念的同時，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.
重點難點
教學重點：算法的含義及應用.
教學難點：寫出解決一類問題的算法.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1(情境導入)
一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃羚羊.該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河?請同學們寫出解決問題的步驟，解決這一問題將要用到我們今天學習的內(nèi)容——算法.
思路2(情境導入)
大家都看過趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說了一個笑話，把大象裝進冰箱總共分幾步?
答案：分三步，第一步：把冰箱門打開;第二步：把大象裝進去;第三步：把冰箱門關(guān)上.
上述步驟構(gòu)成了把大象裝進冰箱的算法，今天我們開始學習算法的概念.
思路3(直接導入)
算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎(chǔ).在現(xiàn)代社會里，計算機已成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ?聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機是怎樣工作的呢?要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始.
推進新課
新知探究
提出問題
(1)解二元一次方程組有幾種方法?
(2)結(jié)合教材實例 總結(jié)用加減消元法解二元一次方程組的步驟.
(3)結(jié)合教材實例 總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟.
(4)請寫出解一般二元一次方程組的步驟.
(5)根據(jù)上述實例談談你對算法的理解.
(6)請同學們總結(jié)算法的特征.
(7)請思考我們學習算法的意義.
討論結(jié)果：
(1)代入消元法和加減消元法.
(2)回顧二元一次方程組
的求解過程，我們可以歸納出以下步驟：
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x= .
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④， 得y= .
第五步，得到方程組的解為
(3)用代入消元法解二元一次方程組
我們可以歸納出以下步驟：
第一步，由①得x=2y-1.③
第二步，把③代入②，得2(2y-1)+y=1.④
第三步，解④得y= .⑤
第四步，把⑤代入③，得x=2× -1= .
第五步，得到方程組的解為
(4)對于一般的二元一次方程組
其中a1b2-a2b1≠0,可以寫出類似的求解步驟：
第一步，①×b2-②×b1，得
(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③
第二步，解③，得x= .
第三步，②×a1-①×a2，得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④
第四步，解④，得y= .
第五步，得到方程組的解為
(5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等.
在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.
現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.
(6)算法的特征：①確定性：算法的每一步都 應當做到準確無誤、不重不漏.“不重”是指不是可有可無的，甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務.②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù).③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務，不能無限制地持續(xù)進行.
(7)在解決某些問題時，需要設(shè)計出一系列可操作或可計算的步驟來解決問題，這些步驟稱為解決這些問題的算法.也就是說，算法實際上就是解決問題的一種程序性方法.算法一般是機械的，有時需進行大量重復的計算，它的優(yōu)點是一種通法，只要按部就班地去做，總能得到結(jié)果.因此算法是計算科學的重要基礎(chǔ).
應用示例
思路1
例1 (1)設(shè)計一個算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù).
(2)設(shè)計一個算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù).
算法分析：(1)根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用2—6除7，如果它們中有一個能整除7，則7不是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù).
算法如下：(1)第一步，用2除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除7.
第二步，用3除 7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù).
(2)類似地，可寫出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法：第一步，用2除35，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余數(shù)0.因為余數(shù)為0，所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù).
點評：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以，如果判斷1997是否為質(zhì)數(shù)就麻煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟.
變式訓練
請寫出判斷n(n >2)是否為質(zhì)數(shù)的算法.
分析：對于任意的整數(shù)n( n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整數(shù)，則“判斷n是否為質(zhì)數(shù)”的算法包含下面的重復操作：用i除n,得到余數(shù)r.判 斷余數(shù)r是否為0，若是，則不是質(zhì)數(shù);否則，將i的值增加1，再執(zhí)行同樣的操作.
這個操作一直要進行到i的值等于(n-1)為止.
算法如下：第一步，給定大于2的整數(shù)n.
第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余數(shù)r.
第四步，判斷“r=0”是否成立.若是，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法;否則，將i的值增加1，仍用i表示.
第五步，判斷“i>(n-1)”是否成立.若是，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法;否則，返回第三步.
例2 寫出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x2-2,則方程x2-2=0 (x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點.
“二分法”的基本思想是：把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間[a,b](滿足f(a)•f(b)<0)“一分為二”，得到[a,m]和[m,b].根據(jù)“f(a)•f(m)<0”是否成立，取出零點所在的區(qū)間[a,m]或[m,b]，仍記為[a,b].對所得的區(qū)間[a,b]重復上述步驟，直到包含零點的區(qū)間[a,b]“足夠小”，則[a,b]內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解.[來源:學&科&網(wǎng)Z&X&X&K]
解：第一步，令f(x)=x2-2,給定精確度d.
第二步，確定區(qū)間[a,b]，滿足f(a)•f(b)<0.
第三步，取區(qū)間中點m= .
第四步，若f(a)•f(m)<0，則含零點的區(qū)間為[a,m];否則，含零點的區(qū)間為[m,b].將新得到的含零點的區(qū)間仍記為[a,b].
第五步，判斷[a,b]的長度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，則m是方程的近似解;否則，返回第三步.
當d=0.005時，按照以上算法，可以得到下表.
a b |a-b|
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.437 5 0.062 5
1.406 25 1.437 5 0.031 25
1.406 25 1.421 875 0.015 625
1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5
1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25
于是，開區(qū)間(1.414 062 5,1.417 968 75)中的實數(shù)都是當精確度為0.005時的原方程的近似解.實際上，上述步驟也是求 的近似值的一個算法.
點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把算法過程稱為“數(shù)學機械化”.數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成，實際上處理任何問題都需要算法.如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則;而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則;再比如 申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關(guān)的手續(xù)……
思路2
例1 一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不 少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊.該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河?請設(shè)計算法.
分析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢.
解：具體算法如下：
算法步驟：
第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回.
第二步：人帶一只狼過河，自己返回.
第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回.
第四步：人帶一只羊過河，自己返回.
第五步：人帶兩只狼過河.
點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當?shù)?這就要求我們在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴密性和完整性.本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中，很多較復雜的情境經(jīng)常遇到這樣的問題，設(shè)計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率.
例2 喝一杯茶需要這樣幾個步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷 茶具、沏茶.問：如何安排這幾個步驟?并給出兩種算法，再加以比較.
分析：本例主要為加深對算法概念的理解，可結(jié)合生活常識對問題進行分析，然后解決問題.
解：算法一：
第一步，洗刷水壺.
第二步，燒水.
第三步，洗刷茶具.
第四步，沏茶.
算法二：
第一步，洗刷水壺.
第二步，燒水，燒水的過程當中洗刷茶具.
第三步，沏茶.
點評：解決一個問題可有多個算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡單的、步驟盡量少的算法.上面的兩種算法都符合題意，但是算法二運用了統(tǒng)籌方法的原理，因此這個算法要比算法一更科學.
例3 寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點的算法.
分析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務.
解：算法分析：
第一步，從已知線段的左端點A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP.
第二步，在射線上任取一個不同于端點A的點C，得到線段AC.
第三步，在射線上沿AC的方向截取線段CE=AC.
第四步，在射線上沿AC的方向截取線段EF=AC.
第五步，在射線上沿AC的方向截取線段FG=AC.
第六步，在射線上沿AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AC.
第七步，連結(jié)DB.
第八步，過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點M就是線段AB的一個5等分點.
點評：用算法解決幾何問題能很好地訓練學生的思維能力，并能幫助我們得到解決幾何問題的一般方法，可謂一舉多得，應多加訓練.
知能訓練
設(shè)計算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根.
解：算法步驟如下：
第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c.
第二步，計算Δ=b2-4ac的值.
第三步，判斷Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，輸出“方程有實根”;否則輸出“方程無實根”，結(jié)束算法.
點評：用算法解決問題的特點是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯性、有窮性.讓我們結(jié)合例題仔細體會算法的特點.
拓展提升
中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時， 如果不超過3分鐘，則收取話費0.22元;如果通話時間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費，不足一分鐘按一分鐘計算.設(shè)通話時間為t(分鐘)，通話費用y(元)，如何設(shè)計一個程序，計算通話的費用.
解：算法分析：
數(shù)學模型實際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù).
關(guān)系式如下：
y=
其中[t-3]表示取不大于t-3的整數(shù)部分.
算法步驟如下：
第一步，輸入通話時間t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22;否則判斷t∈Z 是否成立，若成立執(zhí)行
y=0.2+0.1×(t-3);否則執(zhí)行y=0.2+0.1×([t-3]+1).
第三步，輸出通話費用c.
課堂小結(jié)
(1)正確理解算法這一概念.
(2)結(jié)合例題掌握算法的特點，能夠?qū)懗龀Ｒ妴栴}的算法.
作業(yè)
課本本節(jié)練習1、2.
設(shè)計感想
本節(jié)的引入精彩獨特，讓學生在感興趣的故事里進入本節(jié)的學習.算法是本章的重點也是本章的基 礎(chǔ)，是一個較難理解的概念.為了讓學生正確理解這一概念，本節(jié)設(shè)置了大量學生熟悉的事例，讓學生仔細體 會反復訓練.本節(jié)的事例有古老的經(jīng)典算法，有幾何算法等，因此這是一節(jié)很好的課例.
教案設(shè)計頻道小編推薦：高中數(shù)學教案 | 高二數(shù)學教案 | 高二數(shù)學教學計劃
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本章教材分析
算法是數(shù)學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎(chǔ).算法的應用是學習數(shù)學的一個重要方面.學生學習算法的應用,目的就是利用已有的數(shù)學知識分析問題和解決問題.通過算法的學習,對完善數(shù)學的思想，激發(fā)應用數(shù)學的意識,培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，增強進行實踐的能力等，都有很大的幫助.
本章主要內(nèi)容：算法與程序框圖、基本算法語句、算法案例和小結(jié).教材從學生最熟悉的算法入手，通過研究程序框圖與算法案例，使算法得到充分的應用，同時也展現(xiàn)了古老算法和現(xiàn)代計算機技術(shù)的密切關(guān)系.算法案例不僅展示了數(shù)學方法的嚴謹性、科學性，也為計算機的應用提供了廣闊的空間.讓學生進一步受到數(shù)學思想方法的熏陶，激發(fā)學生的學習熱情.
在算法初步這一章中讓學生近距離接近社會生活，從生活中學習數(shù)學，使數(shù)學在社會生活中得到應用和提高，讓學生體會到數(shù)學是有用的，從而培養(yǎng)學生的學習興趣.“數(shù)學建模”也是高考考查重點.
本章還是數(shù)學思想方法的載體，學生在學習中會經(jīng)常用到“算法思想” “轉(zhuǎn)化思想”，從而提高自己數(shù)學能力.因此應從三個方面把握本章：
(1)知識間的聯(lián)系;
(2)數(shù)學思想方法;
(3)認知規(guī)律.
本章教學時間約需12課時，具體分配如下(僅供參考)：
1.1.1 算法的概念 約1課時
1.1.2 程序框圖與算法的基本邏輯結(jié)構(gòu) 約4課時
1.2.1 輸入語句、輸出語句和賦值語句 約1課時
1.2.2 條件語句 約1課時
1.2.3 循環(huán)語句 約1課時
1.3算法案例 約3課時
本章復習 約1課時
1.1 算法與程序框圖
1.1.1 算法的概念
整體設(shè)計
教學分析
算法在中學數(shù)學課程中是一個新的概念，但沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了如下描述：“在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.”為 了讓學生更好理解這一概念，教科書先從分析一個具體的二元一次方程組的求解過程出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法.教學中，應從學生非常熟悉的例子引出算法，再通過例題加以鞏固.
三維目標
1.正確理解算法的概念,掌握算法的基本特點.
2.通過例題教學，使學生體會設(shè)計算法的基本思 路.
3.通過有趣的實例使學生了解算法這一概念的同時，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.
重點難點
教學重點：算法的含義及應用.
教學難點：寫出解決一類問題的算法.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1(情境導入)
一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃羚羊.該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河?請同學們寫出解決問題的步驟，解決這一問題將要用到我們今天學習的內(nèi)容——算法.
思路2(情境導入)
大家都看過趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說了一個笑話，把大象裝進冰箱總共分幾步?
答案：分三步，第一步：把冰箱門打開;第二步：把大象裝進去;第三步：把冰箱門關(guān)上.
上述步驟構(gòu)成了把大象裝進冰箱的算法，今天我們開始學習算法的概念.
思路3(直接導入)
算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎(chǔ).在現(xiàn)代社會里，計算機已成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ?聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機是怎樣工作的呢?要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始.
推進新課
新知探究
提出問題
(1)解二元一次方程組有幾種方法?
(2)結(jié)合教材實例 總結(jié)用加減消元法解二元一次方程組的步驟.
(3)結(jié)合教材實例 總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟.
(4)請寫出解一般二元一次方程組的步驟.
(5)根據(jù)上述實例談談你對算法的理解.
(6)請同學們總結(jié)算法的特征.
(7)請思考我們學習算法的意義.
討論結(jié)果：
(1)代入消元法和加減消元法.
(2)回顧二元一次方程組
的求解過程，我們可以歸納出以下步驟：
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x= .
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④， 得y= .
第五步，得到方程組的解為
(3)用代入消元法解二元一次方程組
我們可以歸納出以下步驟：
第一步，由①得x=2y-1.③
第二步，把③代入②，得2(2y-1)+y=1.④
第三步，解④得y= .⑤
第四步，把⑤代入③，得x=2× -1= .
第五步，得到方程組的解為
(4)對于一般的二元一次方程組
其中a1b2-a2b1≠0,可以寫出類似的求解步驟：
第一步，①×b2-②×b1，得
(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③
第二步，解③，得x= .
第三步，②×a1-①×a2，得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④
第四步，解④，得y= .
第五步，得到方程組的解為
(5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等.
在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.
現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.
(6)算法的特征：①確定性：算法的每一步都 應當做到準確無誤、不重不漏.“不重”是指不是可有可無的，甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務.②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù).③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務，不能無限制地持續(xù)進行.
(7)在解決某些問題時，需要設(shè)計出一系列可操作或可計算的步驟來解決問題，這些步驟稱為解決這些問題的算法.也就是說，算法實際上就是解決問題的一種程序性方法.算法一般是機械的，有時需進行大量重復的計算，它的優(yōu)點是一種通法，只要按部就班地去做，總能得到結(jié)果.因此算法是計算科學的重要基礎(chǔ).
應用示例
思路1
例1 (1)設(shè)計一個算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù).
(2)設(shè)計一個算法，判斷35是否為質(zhì)數(shù).
算法分析：(1)根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用2—6除7，如果它們中有一個能整除7，則7不是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù).
算法如下：(1)第一步，用2除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除7.
第二步，用3除 7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù).
(2)類似地，可寫出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法：第一步，用2除35，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余數(shù)0.因為余數(shù)為0，所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù).
點評：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以，如果判斷1997是否為質(zhì)數(shù)就麻煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟.
變式訓練
請寫出判斷n(n >2)是否為質(zhì)數(shù)的算法.
分析：對于任意的整數(shù)n( n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整數(shù)，則“判斷n是否為質(zhì)數(shù)”的算法包含下面的重復操作：用i除n,得到余數(shù)r.判 斷余數(shù)r是否為0，若是，則不是質(zhì)數(shù);否則，將i的值增加1，再執(zhí)行同樣的操作.
這個操作一直要進行到i的值等于(n-1)為止.
算法如下：第一步，給定大于2的整數(shù)n.
第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余數(shù)r.
第四步，判斷“r=0”是否成立.若是，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法;否則，將i的值增加1，仍用i表示.
第五步，判斷“i>(n-1)”是否成立.若是，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法;否則，返回第三步.
例2 寫出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x2-2,則方程x2-2=0 (x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點.
“二分法”的基本思想是：把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間[a,b](滿足f(a)•f(b)<0)“一分為二”，得到[a,m]和[m,b].根據(jù)“f(a)•f(m)<0”是否成立，取出零點所在的區(qū)間[a,m]或[m,b]，仍記為[a,b].對所得的區(qū)間[a,b]重復上述步驟，直到包含零點的區(qū)間[a,b]“足夠小”，則[a,b]內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解.[來源:學&科&網(wǎng)Z&X&X&K]
解：第一步，令f(x)=x2-2,給定精確度d.
第二步，確定區(qū)間[a,b]，滿足f(a)•f(b)<0.
第三步，取區(qū)間中點m= .
第四步，若f(a)•f(m)<0，則含零點的區(qū)間為[a,m];否則，含零點的區(qū)間為[m,b].將新得到的含零點的區(qū)間仍記為[a,b].
第五步，判斷[a,b]的長度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，則m是方程的近似解;否則，返回第三步.
當d=0.005時，按照以上算法，可以得到下表.
a b |a-b|
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.437 5 0.062 5
1.406 25 1.437 5 0.031 25
1.406 25 1.421 875 0.015 625
1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5
1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25
于是，開區(qū)間(1.414 062 5,1.417 968 75)中的實數(shù)都是當精確度為0.005時的原方程的近似解.實際上，上述步驟也是求 的近似值的一個算法.
點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把算法過程稱為“數(shù)學機械化”.數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成，實際上處理任何問題都需要算法.如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則;而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則;再比如 申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關(guān)的手續(xù)……
思路2
例1 一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不 少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊.該人如何將動物轉(zhuǎn)移過河?請設(shè)計算法.
分析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢.
解：具體算法如下：
算法步驟：
第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回.
第二步：人帶一只狼過河，自己返回.
第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回.
第四步：人帶一只羊過河，自己返回.
第五步：人帶兩只狼過河.
點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當?shù)?這就要求我們在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴密性和完整性.本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中，很多較復雜的情境經(jīng)常遇到這樣的問題，設(shè)計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率.
例2 喝一杯茶需要這樣幾個步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷 茶具、沏茶.問：如何安排這幾個步驟?并給出兩種算法，再加以比較.
分析：本例主要為加深對算法概念的理解，可結(jié)合生活常識對問題進行分析，然后解決問題.
解：算法一：
第一步，洗刷水壺.
第二步，燒水.
第三步，洗刷茶具.
第四步，沏茶.
算法二：
第一步，洗刷水壺.
第二步，燒水，燒水的過程當中洗刷茶具.
第三步，沏茶.
點評：解決一個問題可有多個算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡單的、步驟盡量少的算法.上面的兩種算法都符合題意，但是算法二運用了統(tǒng)籌方法的原理，因此這個算法要比算法一更科學.
例3 寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點的算法.
分析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務.
解：算法分析：
第一步，從已知線段的左端點A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP.
第二步，在射線上任取一個不同于端點A的點C，得到線段AC.
第三步，在射線上沿AC的方向截取線段CE=AC.
第四步，在射線上沿AC的方向截取線段EF=AC.
第五步，在射線上沿AC的方向截取線段FG=AC.
第六步，在射線上沿AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AC.
第七步，連結(jié)DB.
第八步，過C作BD的平行線，交線段AB于M，這樣點M就是線段AB的一個5等分點.
點評：用算法解決幾何問題能很好地訓練學生的思維能力，并能幫助我們得到解決幾何問題的一般方法，可謂一舉多得，應多加訓練.
知能訓練
設(shè)計算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根.
解：算法步驟如下：
第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c.
第二步，計算Δ=b2-4ac的值.
第三步，判斷Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，輸出“方程有實根”;否則輸出“方程無實根”，結(jié)束算法.
點評：用算法解決問題的特點是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯性、有窮性.讓我們結(jié)合例題仔細體會算法的特點.
拓展提升
中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時， 如果不超過3分鐘，則收取話費0.22元;如果通話時間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費，不足一分鐘按一分鐘計算.設(shè)通話時間為t(分鐘)，通話費用y(元)，如何設(shè)計一個程序，計算通話的費用.
解：算法分析：
數(shù)學模型實際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù).
關(guān)系式如下：
y=
其中[t-3]表示取不大于t-3的整數(shù)部分.
算法步驟如下：
第一步，輸入通話時間t.
第二步，如果t≤3，那么y=0.22;否則判斷t∈Z 是否成立，若成立執(zhí)行
y=0.2+0.1×(t-3);否則執(zhí)行y=0.2+0.1×([t-3]+1).
第三步，輸出通話費用c.
課堂小結(jié)
(1)正確理解算法這一概念.
(2)結(jié)合例題掌握算法的特點，能夠?qū)懗龀Ｒ妴栴}的算法.
作業(yè)
課本本節(jié)練習1、2.
設(shè)計感想
本節(jié)的引入精彩獨特，讓學生在感興趣的故事里進入本節(jié)的學習.算法是本章的重點也是本章的基 礎(chǔ)，是一個較難理解的概念.為了讓學生正確理解這一概念，本節(jié)設(shè)置了大量學生熟悉的事例，讓學生仔細體 會反復訓練.本節(jié)的事例有古老的經(jīng)典算法，有幾何算法等，因此這是一節(jié)很好的課例.
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