第二講 概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義
一、考試要求
1. 熟悉概率的古典定義及其簡(jiǎn)單計(jì)算
2. 掌握概率的統(tǒng)計(jì)定義
3. 掌握概率的基本性質(zhì)
4. 掌握事件的互不相容性和概率的加法法則
5. 掌握事件的獨(dú)立性、條件概率和概率的乘法法則
二、主要考點(diǎn)
1 古典概率的計(jì)算
2 條件概率運(yùn)算
3 獨(dú)立性判斷、互不相容的判斷
三、內(nèi)容講解
古典概率的定義與統(tǒng)計(jì)定義
確定一個(gè)事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，在歷，這兩種方法分別被稱為概率的兩種定義，即概率的古典定義及統(tǒng)計(jì)定義。
(一) 概率的古典定義
用概率的古典定義確定概率的方法的要點(diǎn)如下:
(1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn);
(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同(等可能性);
(3)若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率為:略
(1.1-1)
[例1.1-3] 擲兩顆骰子，其樣本點(diǎn)可用數(shù)組(x , y)表示，其中，x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:
它共含36個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都相同。
(1) 定義事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=1/36。
(2) 定義事件B="點(diǎn)數(shù)之和為5"= ，它含有4個(gè)樣本點(diǎn)，故P(B)=4/36=1/9。
(3) 定義事件C="點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)9"= , 它含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故 P(C)=6/36=1/6。
(4) 定義事件D="點(diǎn)數(shù)之和大于3，而小于7"= ， 它含有12個(gè)樣本點(diǎn)，故它的概率P(D)=12/36=1/3。
[例1.1—4] 從標(biāo)號(hào)為1，2，…,10的10個(gè)同樣大小的球中任取一個(gè)，求下列事件的概率：A:‘抽中2號(hào)’，B:‘抽中奇數(shù)號(hào)’，C:‘抽中的號(hào)數(shù)不小于7’。
解：顯然 ，所以
(二)排列與組合
用古典方法求概率，經(jīng)常需要用到排列與組合的公式。現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹如下:
排列與組合是兩類(lèi)計(jì)數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理。
(1)乘法原理: 如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1×m2×…×mk種方法。
例如, 甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有3×2=6條旅游線路。
(2) 加法原理: 如果做某件事可由k類(lèi)不同方法之一去完成，其中在第一類(lèi)方法中又有m1種完成方法, 在第二類(lèi)方法中又有m2種完成方法，… ，在第k類(lèi)方法中又有mk種完成方法, 那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。
例如，由甲城到乙城去旅游有三類(lèi)交通工具: 汽車(chē)、火車(chē)和飛機(jī)，而汽車(chē)有5個(gè)班次，火車(chē)有3個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個(gè)班次供旅游選擇。
(3)排列與組合的定義及其計(jì)算公式如下:
①排列:從n個(gè)不同元素中任取 個(gè)元素排成一列稱為一個(gè)排列。按乘法原理，此種排列共有n×(n-1) ×…×(n-r+1)個(gè)，記為 。若r=n,稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個(gè)，記為Pn，即:
= n×(n-1) ×…×(n-r+1), Pn= n!
②重復(fù)排列:從n個(gè)不同元素中每次取出一個(gè)作記錄后放回，再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有 個(gè)。注意，這里的r允許大于n。
例如，從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一個(gè)做檢驗(yàn)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為 。假如上述抽取不允許放回，則所得排列數(shù)為10×9×8×7=5040。
③組合: 從n個(gè)不同元素中任取 個(gè)元素并成一組 (不考慮他們之間的排列順序)稱為一個(gè)組合，此種組合數(shù)為：
規(guī)定0!=1，因而 。另外，在組合中，r個(gè)元素"一個(gè)接一個(gè)取出"與"同時(shí)取出"是等同的。
例如，從10個(gè)產(chǎn)品中任取4個(gè)做檢驗(yàn)，所有可能取法是從10個(gè)中任取4個(gè)的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為：
這是因?yàn)槿〕龅娜我庖唤M中的4個(gè)產(chǎn)品的全排列有4!=24種。而這24種排列在組合中只算一種。所以 。
注意:排列與組合都是計(jì)算 "從n個(gè)不同元素中任取r個(gè)元素"的取法總數(shù)公式，他們的主要差別在于: 如果講究取出元素間的次序，則用排列公式;如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式。至于是否講究次序，應(yīng)從具體問(wèn)題背景加以辨別。
[例1.1-5] 一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè) ，
問(wèn)：事件Am= "恰好有m個(gè)不合格品"的概率是多少?
從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有 個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問(wèn)題的樣本空間 。
其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這 個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可以作同樣理解。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率，然后計(jì)算一般事件Am的概率。
事件A0="恰好有0個(gè)不合格品"="全是合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那么必須從該批中N-M個(gè)合格品中抽取，這有 種取法。故事件A0的概率為:
事件A1="恰好有1個(gè)不合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他n-1個(gè)是合格品，可分二步來(lái)實(shí)現(xiàn)。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，共有 種取法;第二步從N-M個(gè)合格品中隨機(jī)取出n-1個(gè)，共有 種取法。依據(jù)乘法原則，事件A1共含有 個(gè)樣本點(diǎn)。故事件A1的概率為：
最后，事件Am發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從N-M個(gè)合格品中隨機(jī)抽取n-m個(gè)，依據(jù)乘法原則，事件Am共含有 個(gè)樣本點(diǎn)，故事件Am的概率是:
其中r=min(n,M)為n, M中的較小的一個(gè)數(shù)，它是m的取值，這是因?yàn)閙既不可能超過(guò)取出的產(chǎn)品數(shù)n, 也不可能超過(guò)不合格品總數(shù)M，因此 。
假如N=10.M=2和n=4，下面來(lái)計(jì)算諸事件Am的概率:
而A3,A4等都是不可能事件，因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。
(三) 概率的統(tǒng)計(jì)定義
概率的統(tǒng)計(jì)定義的要點(diǎn)如下：
(1)與事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的;
(2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生 次，則事件A發(fā)生的頻率為:略
頻率 能反映事件A發(fā)生的可能性大小;
(3)頻率 將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。在實(shí)際中人們無(wú)法把一個(gè)試驗(yàn)無(wú)限次地重復(fù)下去，只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似表示概率。
[例1.1-7 ] 說(shuō)明頻率穩(wěn)定的例子
(1)為了驗(yàn)證擲一枚均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，記錄了前400次擲硬幣試驗(yàn)中頻率 的變化情況。在重復(fù)次數(shù)n較小時(shí) 波動(dòng)劇烈，隨著n的增大， 波動(dòng)的幅度在逐漸變小。歷有不少人做過(guò)更多次重復(fù)試驗(yàn)。其結(jié)果表明，正面出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5。這個(gè)0.5就是頻率的穩(wěn)定值，也是正面出現(xiàn)的概率，這與用古典方法計(jì)算的概率是相同的。
(2)在英語(yǔ)中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。人們對(duì)各類(lèi)的英語(yǔ)書(shū)刊中字母出現(xiàn)的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的
一、考試要求
1. 熟悉概率的古典定義及其簡(jiǎn)單計(jì)算
2. 掌握概率的統(tǒng)計(jì)定義
3. 掌握概率的基本性質(zhì)
4. 掌握事件的互不相容性和概率的加法法則
5. 掌握事件的獨(dú)立性、條件概率和概率的乘法法則
二、主要考點(diǎn)
1 古典概率的計(jì)算
2 條件概率運(yùn)算
3 獨(dú)立性判斷、互不相容的判斷
三、內(nèi)容講解
古典概率的定義與統(tǒng)計(jì)定義
確定一個(gè)事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，在歷，這兩種方法分別被稱為概率的兩種定義，即概率的古典定義及統(tǒng)計(jì)定義。
(一) 概率的古典定義
用概率的古典定義確定概率的方法的要點(diǎn)如下:
(1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn);
(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同(等可能性);
(3)若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率為:略
(1.1-1)
[例1.1-3] 擲兩顆骰子，其樣本點(diǎn)可用數(shù)組(x , y)表示，其中，x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:
它共含36個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都相同。
(1) 定義事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=1/36。
(2) 定義事件B="點(diǎn)數(shù)之和為5"= ，它含有4個(gè)樣本點(diǎn)，故P(B)=4/36=1/9。
(3) 定義事件C="點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)9"= , 它含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故 P(C)=6/36=1/6。
(4) 定義事件D="點(diǎn)數(shù)之和大于3，而小于7"= ， 它含有12個(gè)樣本點(diǎn)，故它的概率P(D)=12/36=1/3。
[例1.1—4] 從標(biāo)號(hào)為1，2，…,10的10個(gè)同樣大小的球中任取一個(gè)，求下列事件的概率：A:‘抽中2號(hào)’，B:‘抽中奇數(shù)號(hào)’，C:‘抽中的號(hào)數(shù)不小于7’。
解：顯然 ，所以
(二)排列與組合
用古典方法求概率，經(jīng)常需要用到排列與組合的公式。現(xiàn)簡(jiǎn)要介紹如下:
排列與組合是兩類(lèi)計(jì)數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理。
(1)乘法原理: 如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1×m2×…×mk種方法。
例如, 甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有3×2=6條旅游線路。
(2) 加法原理: 如果做某件事可由k類(lèi)不同方法之一去完成，其中在第一類(lèi)方法中又有m1種完成方法, 在第二類(lèi)方法中又有m2種完成方法，… ，在第k類(lèi)方法中又有mk種完成方法, 那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。
例如，由甲城到乙城去旅游有三類(lèi)交通工具: 汽車(chē)、火車(chē)和飛機(jī)，而汽車(chē)有5個(gè)班次，火車(chē)有3個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個(gè)班次供旅游選擇。
(3)排列與組合的定義及其計(jì)算公式如下:
①排列:從n個(gè)不同元素中任取 個(gè)元素排成一列稱為一個(gè)排列。按乘法原理，此種排列共有n×(n-1) ×…×(n-r+1)個(gè)，記為 。若r=n,稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個(gè)，記為Pn，即:
= n×(n-1) ×…×(n-r+1), Pn= n!
②重復(fù)排列:從n個(gè)不同元素中每次取出一個(gè)作記錄后放回，再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有 個(gè)。注意，這里的r允許大于n。
例如，從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一個(gè)做檢驗(yàn)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為 。假如上述抽取不允許放回，則所得排列數(shù)為10×9×8×7=5040。
③組合: 從n個(gè)不同元素中任取 個(gè)元素并成一組 (不考慮他們之間的排列順序)稱為一個(gè)組合，此種組合數(shù)為：
規(guī)定0!=1，因而 。另外，在組合中，r個(gè)元素"一個(gè)接一個(gè)取出"與"同時(shí)取出"是等同的。
例如，從10個(gè)產(chǎn)品中任取4個(gè)做檢驗(yàn)，所有可能取法是從10個(gè)中任取4個(gè)的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為：
這是因?yàn)槿〕龅娜我庖唤M中的4個(gè)產(chǎn)品的全排列有4!=24種。而這24種排列在組合中只算一種。所以 。
注意:排列與組合都是計(jì)算 "從n個(gè)不同元素中任取r個(gè)元素"的取法總數(shù)公式，他們的主要差別在于: 如果講究取出元素間的次序，則用排列公式;如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式。至于是否講究次序，應(yīng)從具體問(wèn)題背景加以辨別。
[例1.1-5] 一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè) ，
問(wèn)：事件Am= "恰好有m個(gè)不合格品"的概率是多少?
從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有 個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問(wèn)題的樣本空間 。
其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這 個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可以作同樣理解。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率，然后計(jì)算一般事件Am的概率。
事件A0="恰好有0個(gè)不合格品"="全是合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那么必須從該批中N-M個(gè)合格品中抽取，這有 種取法。故事件A0的概率為:
事件A1="恰好有1個(gè)不合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他n-1個(gè)是合格品，可分二步來(lái)實(shí)現(xiàn)。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，共有 種取法;第二步從N-M個(gè)合格品中隨機(jī)取出n-1個(gè)，共有 種取法。依據(jù)乘法原則，事件A1共含有 個(gè)樣本點(diǎn)。故事件A1的概率為：
最后，事件Am發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從N-M個(gè)合格品中隨機(jī)抽取n-m個(gè)，依據(jù)乘法原則，事件Am共含有 個(gè)樣本點(diǎn)，故事件Am的概率是:
其中r=min(n,M)為n, M中的較小的一個(gè)數(shù)，它是m的取值，這是因?yàn)閙既不可能超過(guò)取出的產(chǎn)品數(shù)n, 也不可能超過(guò)不合格品總數(shù)M，因此 。
假如N=10.M=2和n=4，下面來(lái)計(jì)算諸事件Am的概率:
而A3,A4等都是不可能事件，因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。
(三) 概率的統(tǒng)計(jì)定義
概率的統(tǒng)計(jì)定義的要點(diǎn)如下：
(1)與事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的;
(2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生 次，則事件A發(fā)生的頻率為:略
頻率 能反映事件A發(fā)生的可能性大小;
(3)頻率 將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。在實(shí)際中人們無(wú)法把一個(gè)試驗(yàn)無(wú)限次地重復(fù)下去，只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似表示概率。
[例1.1-7 ] 說(shuō)明頻率穩(wěn)定的例子
(1)為了驗(yàn)證擲一枚均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，記錄了前400次擲硬幣試驗(yàn)中頻率 的變化情況。在重復(fù)次數(shù)n較小時(shí) 波動(dòng)劇烈，隨著n的增大， 波動(dòng)的幅度在逐漸變小。歷有不少人做過(guò)更多次重復(fù)試驗(yàn)。其結(jié)果表明，正面出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5。這個(gè)0.5就是頻率的穩(wěn)定值，也是正面出現(xiàn)的概率，這與用古典方法計(jì)算的概率是相同的。
(2)在英語(yǔ)中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。人們對(duì)各類(lèi)的英語(yǔ)書(shū)刊中字母出現(xiàn)的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的