一、考試要求
    1.熟悉區(qū)間估計(jì) (包括置信水平、且信區(qū)間)的概念
    2.熟悉正態(tài)總體均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間的求法
    3.了解比率p的置信區(qū)間 (大樣本場(chǎng)合)的求法
    二、 內(nèi)容講解
    第四節(jié) 參數(shù)估計(jì)(續(xù))
    二、區(qū)間估計(jì)
    (一) 區(qū)間估計(jì)的概念
    點(diǎn)估計(jì)僅僅給出參數(shù)一個(gè)具體的估計(jì)值，但是沒(méi)有給出估計(jì)的精度，而區(qū)間估計(jì)是用一個(gè)區(qū)間來(lái)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，區(qū)間估計(jì)體現(xiàn)了估計(jì)的精度。
    設(shè) 是總體的一個(gè)待估參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為 ，記從總體中獲得樣本量為n的樣本為 ，對(duì)給定的 ，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：
    與
    若對(duì)任意 ∈ 有P( ≤ ≤ )≥l- ，則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間[ ， ]是 的置信水平為l- 的置信區(qū)間，簡(jiǎn)稱(chēng)[ ， ]是 的l- 的置信區(qū)間， 與 分別稱(chēng)為 的l- 的置信下限與置信上限。
    置信區(qū)間的含義是：所構(gòu)造的隨機(jī)區(qū)間 覆蓋(蓋住)未知參數(shù) 的概率為 。由于這個(gè)隨機(jī)區(qū)間隨樣本觀測(cè)值的不同而不同，它有時(shí)覆蓋了參數(shù) ，有時(shí)沒(méi)有覆蓋 ，但是用這種方法做區(qū)間估計(jì)時(shí)，100次中大約有100( )個(gè)區(qū)間能覆蓋未知參數(shù) 。圖1.4-1中每一條豎線(xiàn)表示由一個(gè)樣本量為4的樣本按給定的 與 求得的一個(gè)區(qū)間。重復(fù)抽取100個(gè)樣本，就得到100個(gè)這樣的區(qū)間，在( )中，100個(gè)區(qū)間有51個(gè)包含(覆蓋了)參數(shù)真值=50000，這對(duì)50%的置信區(qū)間來(lái)說(shuō)是一個(gè)合理的偏離;在( )中，100個(gè)區(qū)間有90個(gè)包含參數(shù)真值=50000，這與90%的置信區(qū)間一致。
    如果P( < )=P( > )= /2，則稱(chēng)這種置信區(qū)間為等尾置信區(qū)間。
    下面著重討論正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間及比例p的置信區(qū)間，它們都是等尾置信區(qū)間。
    (二)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間
    設(shè)總體分布為 ，從中抽取的樣本記為 ，樣本均值為 ，樣本方差為 ,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s。
    (1)總體均值 的置信區(qū)間的求法： 的估計(jì)一般用樣本均值 ，從 的分布來(lái)構(gòu)造置信區(qū)間。
    當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 已知時(shí)，利用正態(tài)分布可得 的l- 置信區(qū)間為：
    ，
    今后也記為 ，其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)。
    當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 未知時(shí)， 用其估計(jì)s代替，利用t分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：
    其中 表示自由度是n-l的t分布的 分位數(shù)。
    (2)總體方差 與標(biāo)準(zhǔn)差 的置信區(qū)間的求法： 的估計(jì)常用樣本方差 ，因此從 的分布來(lái)構(gòu)造置信區(qū)間。
    利用 (n-1)分布可以得到 的l- 置信區(qū)間為：
    將上式兩邊開(kāi)平方，可得 的l- 置信區(qū)間為：
    以上討論總結(jié)如下表1.4-2中，可供選用。
    [例1.4-7] 某溶液中的甲醛濃度服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)樣本量為4的樣本，求得 ，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 ，分別求正態(tài)均值 及標(biāo)準(zhǔn)差 的95%的置信區(qū)間。
    解：先求正態(tài)均值 的置信區(qū)間，由于 未知，故采用 分布來(lái)求。
    ， ，又 ， ，查附表1-4得 ，從而正態(tài)均值 的95%的置信區(qū)間為：
    再求 的置信區(qū)間。由于 ， ，查附表1-5得： ， ，則正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差 的95%的置信區(qū)間為：
    [例1.4-8] 設(shè)一個(gè)物體的重量 未知，為估計(jì)其重量，用天平去稱(chēng)，所得稱(chēng)重(測(cè)量值)與實(shí)際重量間是有誤差的，因此所得的稱(chēng)重是一個(gè)隨機(jī)變量，通常服從正態(tài)分布。如果已知稱(chēng)量的誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為0.1克(根據(jù)天平的精度給出)，為使 的95%的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)0.1，那么至少應(yīng)該稱(chēng)多少次?
    解：這是估計(jì)樣本量的問(wèn)題。在 已知時(shí)， 的95%的置信區(qū)間為：
    其中 ，置信區(qū)間的長(zhǎng)度是：
    為使它不超過(guò)0.1，可解不等式 ，得 ，即至少應(yīng)稱(chēng)16次。
    (三)比例p的置信區(qū)間
    比例p的嚴(yán)格的置信區(qū)間的求法相當(dāng)繁瑣，這里僅給出大樣本情況下根據(jù)中心極限定理的正態(tài)近似的結(jié)果。
    設(shè)總體 ，樣本為 ，樣本值之和為k，樣本均值為 =k/n，這便是p的點(diǎn)估計(jì)，在樣本量n較大時(shí)，由于 的近似分布為N(p，p(1-p)/n)，因此p的l- 置信區(qū)間為：
    (1.4-2)
    其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)。
    [例1.4-9] 在某電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，隨機(jī)調(diào)查了400人，其中100人收看了該節(jié)目，試對(duì)該節(jié)目收視率p作置信水平為0.95的區(qū)間估計(jì)。
    解：n=400， =100/400=0.25，在 =0.05時(shí)， ，由此得p的置信水平0.95的置信區(qū)間為：
    即[0.2076，0.2924]。