4、非歐幾何
    非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏(羅巴切夫斯基)幾何；廣義的，泛指一切和歐氏(歐幾里得)幾何不同的幾何；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。
    歐幾里得的第5公設(shè)(平行公設(shè))在數(shù)學占有特殊的地位，它與前4條公設(shè)相比，性質(zhì)顯得太復(fù)雜了。它在《原本》中第一次應(yīng)用是在證明第29個定理時，而且此后似乎總是盡量避免使用它。因此人們懷疑第五公設(shè)的公理地位，并探索用其它公理來證明它，以使它變?yōu)橐粭l定理。在三千多年的時間中，進行這種探索并有案可查的就達兩千人以上，其中包括許多知名的數(shù)學家，但他們都失敗了。
    羅巴契夫斯基于1826年，鮑耶于1832年發(fā)表了劃時代的研究結(jié)果，開創(chuàng)了非歐幾何。在這種幾何中，他們假設(shè)“過不在已知直線上的一點，可以引至少兩條直線平行于已知直線”，用以代替第五公設(shè)，同時保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。
    1854年，黎曼推出了另一種非歐幾何。在這種幾何中，他假設(shè)“過已知直線外一點，沒有和已知直線平行的直線可引”，用以代替第5公設(shè)，同時保留了歐氏幾何的其它公設(shè)。1871年，克萊因把這3種幾何：羅巴契夫斯基—鮑耶的、歐幾里得的和黎曼的分別定名為雙曲幾何、拋物幾何和橢圓幾何。
    非歐幾何的發(fā)現(xiàn)不僅最終解決了平行公設(shè)的問題——平行公設(shè)被證明是獨立于歐氏幾何的其它公設(shè)的，而且把幾何學從其傳統(tǒng)模型中解放出來，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何的道路被打開了。
    1854年，黎曼發(fā)表了“關(guān)于作為幾何學基礎(chǔ)的假設(shè)的講演”。他指出：每種不同的(兩個無限靠近的點的)距離公式?jīng)Q定了最終產(chǎn)生的空間和幾何的性質(zhì)。1872年，克萊因建立了各種幾何系統(tǒng)按照不同變換群不變量的分類方法。
    19世紀以后，幾何空間概念發(fā)展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何都對應(yīng)著一種定理系統(tǒng)。1899年，希爾伯特發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》一書，提出了完備的幾何公理體系，建立了歐氏幾何的嚴密的基礎(chǔ)，并給出了證明一個公理體系的相容性(無矛盾性)、獨立性和完備性的普遍原則。按照他的觀點，不同的幾何空間乃是從屬于不同幾何公理要求的元素集合。歐氏幾何和非歐幾何，在大量的幾何系統(tǒng)中，只不過是極其特殊的情形罷了。
    5、拓撲學
    1736年，歐拉發(fā)表論文，討論哥尼斯堡七橋問題。他還提出球面三角形剖分圖形頂點、邊、面之間關(guān)系的歐拉公式，這可以說是拓撲學的開端。
    龐加萊于1895～1904年建立了拓撲學，采用代數(shù)組合的方法研究拓撲性質(zhì)。他把歐拉公式推廣為歐拉—龐加萊公式，與此有關(guān)的理論現(xiàn)在稱為同調(diào)理論和同倫理論。以后的拓撲學主要按照龐加萊的設(shè)想發(fā)展。
    拓撲學開始是幾何學的一個分支，在二十世紀它得到了極大的推廣。1906年，弗雷歇發(fā)表博士論文，把函數(shù)作為一個“點”來看，把函數(shù)收斂描繪成點的收斂，這就把康托的點集論和分析學的抽象化聯(lián)系起來了。他在函數(shù)所構(gòu)成的集合中引入距離的概念，構(gòu)成距離空間，展開了線性距離空間的理論。在這個基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了點集拓撲學。在豪斯道夫的《點集論綱要》一書中，出現(xiàn)了更一般的點集拓撲學的完整想法。第二次世界大戰(zhàn)后，把分析引進拓撲，發(fā)展了微分拓撲。
    現(xiàn)在的拓撲學可以粗略地定義為對于連續(xù)性的數(shù)學研究。任何事物的集合都能在某種意義上構(gòu)成拓撲空間，拓撲學的概念和理論已基本完組成為數(shù)學的基礎(chǔ)理論之一，滲入到各個分支，并且成功地應(yīng)用于電磁學和物理學的研究。