基本不等式及應(yīng)用是高中階段一個(gè)重要的知識點(diǎn)；其方法靈活，應(yīng)用廣范。在學(xué)習(xí)過程中要求學(xué)生對公式的條件、形式、結(jié)論等要熟練掌握，才能靈活運(yùn)用。
一、基本不等式：
1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立，
2.a,b∈R+，a+b≥2-，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立。
二、問題1：設(shè)ab﹤0,則:-+-的取值范圍是( )
(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：因?yàn)?與-的積為定值，其和有最小值，
即-+-≥2所以選擇答案(D)。此解法是錯(cuò)的，是因?yàn)?﹤0
-﹤0并不滿足不等式：a+b≥2-中字母的條件；
正確方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0
(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正確答案是(A)
問題2：已知x是正實(shí)數(shù)，求函數(shù)y=x2+-的最小值？
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：因x是正實(shí)數(shù)，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-，當(dāng)且僅當(dāng)x2=-，即x=-時(shí)，等號成立；此解法錯(cuò)誤的原因是x2與-的積
2-并不是定值。
正確結(jié)論：對于兩個(gè)正數(shù)a與b，
當(dāng)和為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，其積有值；
當(dāng)積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，其和有最小值。
正確方法是：因x是正實(shí)數(shù)，y=x2+-=x2+-+-
≥3·■=3,
當(dāng)且僅當(dāng)：x2=-等號成立，即x=1時(shí)，y=x2+-的最小值是3
問題3：已知x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+4y=1，求：-+-的最小值？
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：因?yàn)閤,y都是正實(shí)數(shù)1=x+4y≥2-
即1≥4-＞0，-+-≥
2-＞0，兩式相乘得-+-≥8
所以-+-的最小值是8，此解法錯(cuò)誤的原因是不等式x+4y≥2-取等號的條件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等號的條件是x=y，而這兩個(gè)條件不可能同時(shí)成立，因此-+-≥8中的等號不成立。
正確方法是：x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+
2-=9，當(dāng)且僅當(dāng)-=-等號成立，
即當(dāng)且僅當(dāng)x=-，y=-時(shí)，-+-取得最小值是9
問題4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的值？
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：
xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3
即：xm+yn的值為3
此解法錯(cuò)誤的原因是當(dāng)xm+yn取得值3時(shí)，x=m，y=n要同時(shí)成立，即有x2+y2=m2+n2，而這是不可能的。
正確解法：因?yàn)閤2+y2=2,m2+n2=4，兩式相乘
8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn
8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-
即當(dāng)且僅當(dāng)xn=ym時(shí)，xm+yn取值為2-
總之，基本不等式解決問題并不是萬能的。學(xué)習(xí)過程中，要深刻理解基本不等式的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，搞清其條件、公式、結(jié)論之間的辯證關(guān)系是關(guān)鍵。特別對于第二個(gè)基本不等式，我們常說“一正、二定、三等號”，其意義就在于此。
訓(xùn)練題
一、填空題：
1.已知x,y都是正實(shí)數(shù)，且-+-=1,則x+y最小值是_______，
當(dāng)且僅當(dāng)x=_______,y=_______,
2.已知：abc均為實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1,則ab+bc+ca的值是________
最小值是_________。
3.已知：a,b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。
二、選擇題：
1.已知：a,b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則-+-的值是( )
(A)-(B)-(C)2-(D)3
2.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,則實(shí)數(shù)c的范圍是( )
(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]
三、解答題：
1.已知矩形的面積與其周長相等，求其面積的最小值？
2.⑴比較大?。憨S23_____㏒34,㏒56______㏒67
⑵根據(jù)上述結(jié)論作出推廣，試寫出一個(gè)有關(guān)于自然數(shù)n的不等式，并證明之。
答案：
一、 填空題：
1. x+y最小值是9， 當(dāng)且僅當(dāng) x=6,y=3。
2. ab+bc+ca的值是1 , 最小值是--。
3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- , 二、 選擇題：
1.(C), 2.(D)
三、 解答題：
1.16
2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67
⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要證明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。
華東模范中學(xué) 馬蘭軍
一、基本不等式：
1.a,b∈R，a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立，
2.a,b∈R+，a+b≥2-，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號成立。
二、問題1：設(shè)ab﹤0,則:-+-的取值范圍是( )
(A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：因?yàn)?與-的積為定值，其和有最小值，
即-+-≥2所以選擇答案(D)。此解法是錯(cuò)的，是因?yàn)?﹤0
-﹤0并不滿足不等式：a+b≥2-中字母的條件；
正確方法是：因ab﹤0，所以(--)＞0，(--)＞0
(--)+(--)≥2，即-+-≤-2，正確答案是(A)
問題2：已知x是正實(shí)數(shù)，求函數(shù)y=x2+-的最小值？
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：因x是正實(shí)數(shù)，y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-，當(dāng)且僅當(dāng)x2=-，即x=-時(shí)，等號成立；此解法錯(cuò)誤的原因是x2與-的積
2-并不是定值。
正確結(jié)論：對于兩個(gè)正數(shù)a與b，
當(dāng)和為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，其積有值；
當(dāng)積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，其和有最小值。
正確方法是：因x是正實(shí)數(shù)，y=x2+-=x2+-+-
≥3·■=3,
當(dāng)且僅當(dāng)：x2=-等號成立，即x=1時(shí)，y=x2+-的最小值是3
問題3：已知x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+4y=1，求：-+-的最小值？
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：因?yàn)閤,y都是正實(shí)數(shù)1=x+4y≥2-
即1≥4-＞0，-+-≥
2-＞0，兩式相乘得-+-≥8
所以-+-的最小值是8，此解法錯(cuò)誤的原因是不等式x+4y≥2-取等號的條件是x=4y，而不等式-+-≥2-取等號的條件是x=y，而這兩個(gè)條件不可能同時(shí)成立，因此-+-≥8中的等號不成立。
正確方法是：x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+4y=1，所以-+-=(-+-)·（x+4y)=1+4+(-+-)≥5+
2-=9，當(dāng)且僅當(dāng)-=-等號成立，
即當(dāng)且僅當(dāng)x=-，y=-時(shí)，-+-取得最小值是9
問題4：已知x,y,m,n∈R，且x2+y2=2,m2+n2=4，求：xm+yn的值？
解題辨析：
常見錯(cuò)誤解法：
xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3
即：xm+yn的值為3
此解法錯(cuò)誤的原因是當(dāng)xm+yn取得值3時(shí)，x=m，y=n要同時(shí)成立，即有x2+y2=m2+n2，而這是不可能的。
正確解法：因?yàn)閤2+y2=2,m2+n2=4，兩式相乘
8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn
8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-
即當(dāng)且僅當(dāng)xn=ym時(shí)，xm+yn取值為2-
總之，基本不等式解決問題并不是萬能的。學(xué)習(xí)過程中，要深刻理解基本不等式的內(nèi)在實(shí)質(zhì)，搞清其條件、公式、結(jié)論之間的辯證關(guān)系是關(guān)鍵。特別對于第二個(gè)基本不等式，我們常說“一正、二定、三等號”，其意義就在于此。
訓(xùn)練題
一、填空題：
1.已知x,y都是正實(shí)數(shù)，且-+-=1,則x+y最小值是_______，
當(dāng)且僅當(dāng)x=_______,y=_______,
2.已知：abc均為實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=1,則ab+bc+ca的值是________
最小值是_________。
3.已知：a,b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。
二、選擇題：
1.已知：a,b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=1，則-+-的值是( )
(A)-(B)-(C)2-(D)3
2.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=5且a2+b2+c2=11,則實(shí)數(shù)c的范圍是( )
(A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]
三、解答題：
1.已知矩形的面積與其周長相等，求其面積的最小值？
2.⑴比較大?。憨S23_____㏒34,㏒56______㏒67
⑵根據(jù)上述結(jié)論作出推廣，試寫出一個(gè)有關(guān)于自然數(shù)n的不等式，并證明之。
答案：
一、 填空題：
1. x+y最小值是9， 當(dāng)且僅當(dāng) x=6,y=3。
2. ab+bc+ca的值是1 , 最小值是--。
3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- , 二、 選擇題：
1.(C), 2.(D)
三、 解答題：
1.16
2.⑴ ㏒23＞㏒34 , ㏒56＞㏒67
⑵ ㏒n(n+1)＞㏒(n+1)(n+2)， 只要證明： ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。
華東模范中學(xué) 馬蘭軍