中考數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題具有立意新穎，知識(shí)容量大、能力要求高，突顯數(shù)學(xué)思想方法，起到區(qū)分層次和選拔的作用。它是中考數(shù)學(xué)試題的精華部分，對(duì)于這樣的題目，學(xué)生普遍有畏難情緒。從歷年數(shù)學(xué)試卷的閱卷情況來(lái)看，最后一題的得分率是最低的。但如果我們平時(shí)在學(xué)習(xí)時(shí)用心體會(huì)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)壓軸題并非高不可攀，它還是有一定的規(guī)律可循。下面，我們從壓軸題的各小題之間的關(guān)系來(lái)探討一下。
在做類似練習(xí)題時(shí)，大家一定會(huì)發(fā)現(xiàn)都有這樣一個(gè)共同點(diǎn)：第一小題難度不大，較容易完成。往后則難度逐漸加大，解出題目的可能性也逐漸減小。其實(shí)，題目中的第一小題的結(jié)論為完成后面小題起著鋪墊、引導(dǎo)作用。象這種在一道綜合題中，前面小題的結(jié)論、解題思路為解后面小題起鋪墊、引導(dǎo)作用的關(guān)系，它們之間往往存在一種遞進(jìn)關(guān)系。若用好這種遞進(jìn)關(guān)系,是我們了解答壓軸題的根基和動(dòng)力之源。這種遞進(jìn)關(guān)系常見(jiàn)的形式有以下幾種：
第一小題的結(jié)論的鋪墊作用
例一，中考試卷中的壓軸題：在△ABC中，∠ABC=900，AB=4，BC=3。O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作半圓，與邊AB相切于點(diǎn)D，交線段OC于點(diǎn)E。作EP⊥ED，交射線AB于點(diǎn)P，交射線CB于點(diǎn)F。
（1）如圖，求證：△ADE∽△AEP；
（2）設(shè)OA=x，AP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）當(dāng)BF=1時(shí)，求線段AP的長(zhǎng)。
解：（1）連接OD，
由已知條件易證，OD⊥AB，
∵EP⊥ED， ∴∠ODA=∠DEP
∵OD=OE ∴∠ODE=∠OED
∴∠ADE=∠AEP
又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△AEP。
（2）∵∠ABC=900，AB=4，BC=3， ∴AC=5
∵OA=x， 易求得OE=OD= ， AD= ∴AE=x+
∵△ADE∽△AEP ∴ 即
∴ 。
由此例可見(jiàn)，第二小題列函數(shù)解析式是利用了第一小題“△ADE∽△AEP”的結(jié)論。
例二, 上海市中考試卷中的壓軸題：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．
①求證；△ABP∽△DPC
②求AP的長(zhǎng)．
（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么
①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出解題過(guò)程）．
解：（1）①證明：∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A， ∴ ∠ABP＝∠DPC．∵ 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝∠D． ∴ △ABP∽△DPC．
②解：設(shè)AP＝x，則DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即，解得x1＝1，x2＝4，則AP的長(zhǎng)為1或4．
（2）①解：類似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，
∴ ．即 ，
得 （1＜x＜4）
②AP＝2或AP＝3－ ．
由于本例的第（2）小題中函數(shù)的定義域是個(gè)難點(diǎn)，如沒(méi)有第（1）小題“AP的長(zhǎng)為1或4”的結(jié)論，則定義域答案易得出0＜x＜5。所以，第（1）小題的結(jié)論起到了鋪墊、暗示的作用。
第一小題解題思路的鋪墊作用
例三，上海中考試卷中的壓軸題：如圖1，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以點(diǎn)B為圓心、AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作弧AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)。
（1）當(dāng)∠DEF=450時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；
（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
圖2
圖1
（3）將△DEF沿直線EF翻折后得到△D1EF，如圖2，當(dāng)EF= 時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要寫(xiě)出結(jié)論，不要求寫(xiě)出理由。
圖1
解、（1）∵∠DEF=450 ∴DE=DF ∵AD=DC ∴AE=FC
易證AD、CD切圓B于點(diǎn)A和點(diǎn)C，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得 AE=EG，F(xiàn)C=GF，
∴EG=GF，即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)。
（2）∵EG=AE=x，F(xiàn)G=CF=y ∴ED=1－x， FD=1－y， EF=x+y
在Rt△DEF中，由ED2+FD2=EF2 得 (1－x)2+(1－y)2·= (x+y)2
∴y= （0＜x＜1）
本例中，第一小題中引用切線長(zhǎng)定理得到“AE=EG，F(xiàn)C=GF”的結(jié)論對(duì)第二小題中得出EF=x+y有指導(dǎo)性的作用。
再如，例二中的第二小題求函數(shù)解析式時(shí)，第一小題中求證；△ABP∽△DPC 可看作是第二小題的特例，故第二小題的推斷與證明均可借鑒第一小題的思路。這是一種從模仿到創(chuàng)造的過(guò)程，模仿即借鑒、套用，創(chuàng)造即靈活變化，這是中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)具備的一種基本素質(zhì)，世上的萬(wàn)事萬(wàn)物總有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，也有著質(zhì)的區(qū)別，模仿的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，創(chuàng)造的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)區(qū)別，并找到應(yīng)付新問(wèn)題的途徑。
上面例舉了壓軸題中，第一小題與后面小題遞進(jìn)關(guān)系的形式。其實(shí)，這種遞進(jìn)關(guān)系還在后面各小題之間延續(xù)：
如例一中的第（3）小題解法如下：
∵△ADE∽△AEP ∴ ∵ ，
∴ 易證：△BPF∽△EPD
∴ ∴當(dāng)BF=1時(shí)，BP=2
若EP交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則AP=4－BP=2；
若EP交CB于點(diǎn)F，則AP=4+BP=6。
由此可見(jiàn)，在解第（3）小題時(shí)，引用了第（1）“△ADE∽△AEP”和第（2）小題“ ， ”的結(jié)論。
再如例三中的第（3）小題解法如下：
當(dāng)EF= 時(shí)， ∵EF=EG+GF=AE+FC ∴ =x+y ∴
解方程得
當(dāng) 時(shí)，即 ∵AD=1 ∴AE=ED
由題意可得 D1H=HD
∴EH∥AD1 ∴∠DAD1=∠FED1 由已知條件易證 ∠ADD1=∠EFD1
∴△AD1D∽△ED1F
當(dāng) 時(shí)， 即 △AD1D與△ED1F不相似。
由此可見(jiàn)，在解第（3）小題時(shí)，引用了第（2）小題的“EF=x+y”和“y= ”結(jié)論。所以在許多綜合題中，前后小題之間往往存在著遞進(jìn)關(guān)系。
今后，當(dāng)我們?cè)诮饩C合題中，當(dāng)遇到困難時(shí)，可應(yīng)用題目中各小題之間的遞進(jìn)關(guān)系，參閱一下已完成的前面小題的結(jié)論和解題思路，看看對(duì)完成題目是否有提示、幫助。
在做類似練習(xí)題時(shí)，大家一定會(huì)發(fā)現(xiàn)都有這樣一個(gè)共同點(diǎn)：第一小題難度不大，較容易完成。往后則難度逐漸加大，解出題目的可能性也逐漸減小。其實(shí)，題目中的第一小題的結(jié)論為完成后面小題起著鋪墊、引導(dǎo)作用。象這種在一道綜合題中，前面小題的結(jié)論、解題思路為解后面小題起鋪墊、引導(dǎo)作用的關(guān)系，它們之間往往存在一種遞進(jìn)關(guān)系。若用好這種遞進(jìn)關(guān)系,是我們了解答壓軸題的根基和動(dòng)力之源。這種遞進(jìn)關(guān)系常見(jiàn)的形式有以下幾種：
第一小題的結(jié)論的鋪墊作用
例一，中考試卷中的壓軸題：在△ABC中，∠ABC=900，AB=4，BC=3。O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心作半圓，與邊AB相切于點(diǎn)D，交線段OC于點(diǎn)E。作EP⊥ED，交射線AB于點(diǎn)P，交射線CB于點(diǎn)F。
（1）如圖，求證：△ADE∽△AEP；
（2）設(shè)OA=x，AP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；
（3）當(dāng)BF=1時(shí)，求線段AP的長(zhǎng)。
解：（1）連接OD，
由已知條件易證，OD⊥AB，
∵EP⊥ED， ∴∠ODA=∠DEP
∵OD=OE ∴∠ODE=∠OED
∴∠ADE=∠AEP
又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△AEP。
（2）∵∠ABC=900，AB=4，BC=3， ∴AC=5
∵OA=x， 易求得OE=OD= ， AD= ∴AE=x+
∵△ADE∽△AEP ∴ 即
∴ 。
由此例可見(jiàn)，第二小題列函數(shù)解析式是利用了第一小題“△ADE∽△AEP”的結(jié)論。
例二, 上海市中考試卷中的壓軸題：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如圖，P為AD上的一點(diǎn)，滿足∠BPC＝∠A．
①求證；△ABP∽△DPC
②求AP的長(zhǎng)．
（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE＝∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么
①當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP＝x，CQ＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
②當(dāng)CE＝1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出解題過(guò)程）．
解：（1）①證明：∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A， ∴ ∠ABP＝∠DPC．∵ 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝∠D． ∴ △ABP∽△DPC．
②解：設(shè)AP＝x，則DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即，解得x1＝1，x2＝4，則AP的長(zhǎng)為1或4．
（2）①解：類似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，
∴ ．即 ，
得 （1＜x＜4）
②AP＝2或AP＝3－ ．
由于本例的第（2）小題中函數(shù)的定義域是個(gè)難點(diǎn)，如沒(méi)有第（1）小題“AP的長(zhǎng)為1或4”的結(jié)論，則定義域答案易得出0＜x＜5。所以，第（1）小題的結(jié)論起到了鋪墊、暗示的作用。
第一小題解題思路的鋪墊作用
例三，上海中考試卷中的壓軸題：如圖1，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以點(diǎn)B為圓心、AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作弧AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)。
（1）當(dāng)∠DEF=450時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；
（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
圖2
圖1
（3）將△DEF沿直線EF翻折后得到△D1EF，如圖2，當(dāng)EF= 時(shí)，討論△AD1D與△ED1F是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要寫(xiě)出結(jié)論，不要求寫(xiě)出理由。
圖1
解、（1）∵∠DEF=450 ∴DE=DF ∵AD=DC ∴AE=FC
易證AD、CD切圓B于點(diǎn)A和點(diǎn)C，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得 AE=EG，F(xiàn)C=GF，
∴EG=GF，即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)。
（2）∵EG=AE=x，F(xiàn)G=CF=y ∴ED=1－x， FD=1－y， EF=x+y
在Rt△DEF中，由ED2+FD2=EF2 得 (1－x)2+(1－y)2·= (x+y)2
∴y= （0＜x＜1）
本例中，第一小題中引用切線長(zhǎng)定理得到“AE=EG，F(xiàn)C=GF”的結(jié)論對(duì)第二小題中得出EF=x+y有指導(dǎo)性的作用。
再如，例二中的第二小題求函數(shù)解析式時(shí)，第一小題中求證；△ABP∽△DPC 可看作是第二小題的特例，故第二小題的推斷與證明均可借鑒第一小題的思路。這是一種從模仿到創(chuàng)造的過(guò)程，模仿即借鑒、套用，創(chuàng)造即靈活變化，這是中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)具備的一種基本素質(zhì)，世上的萬(wàn)事萬(wàn)物總有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，也有著質(zhì)的區(qū)別，模仿的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，創(chuàng)造的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)區(qū)別，并找到應(yīng)付新問(wèn)題的途徑。
上面例舉了壓軸題中，第一小題與后面小題遞進(jìn)關(guān)系的形式。其實(shí)，這種遞進(jìn)關(guān)系還在后面各小題之間延續(xù)：
如例一中的第（3）小題解法如下：
∵△ADE∽△AEP ∴ ∵ ，
∴ 易證：△BPF∽△EPD
∴ ∴當(dāng)BF=1時(shí)，BP=2
若EP交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則AP=4－BP=2；
若EP交CB于點(diǎn)F，則AP=4+BP=6。
由此可見(jiàn)，在解第（3）小題時(shí)，引用了第（1）“△ADE∽△AEP”和第（2）小題“ ， ”的結(jié)論。
再如例三中的第（3）小題解法如下：
當(dāng)EF= 時(shí)， ∵EF=EG+GF=AE+FC ∴ =x+y ∴
解方程得
當(dāng) 時(shí)，即 ∵AD=1 ∴AE=ED
由題意可得 D1H=HD
∴EH∥AD1 ∴∠DAD1=∠FED1 由已知條件易證 ∠ADD1=∠EFD1
∴△AD1D∽△ED1F
當(dāng) 時(shí)， 即 △AD1D與△ED1F不相似。
由此可見(jiàn)，在解第（3）小題時(shí)，引用了第（2）小題的“EF=x+y”和“y= ”結(jié)論。所以在許多綜合題中，前后小題之間往往存在著遞進(jìn)關(guān)系。
今后，當(dāng)我們?cè)诮饩C合題中，當(dāng)遇到困難時(shí)，可應(yīng)用題目中各小題之間的遞進(jìn)關(guān)系，參閱一下已完成的前面小題的結(jié)論和解題思路，看看對(duì)完成題目是否有提示、幫助。