第四章 四邊形性質(zhì)探索 邊數(shù) 3 4 5 6 。。。。。。。 多邊形的內(nèi)角和 l 80° 360° 540° 720° 。。。。。。。 正多邊形內(nèi)憊和的度數(shù) 60° 90° 108° 120° 。。。。。。。
隨堂練習(xí)
§4．1 平行四邊形的性質(zhì)
1．(1)56°，124°；(2)25，30．
2．對(duì)邊可以通過平移相互得到，平移的距離等于另一組對(duì)邊的長(zhǎng)．
習(xí)題4．1
知識(shí)技能
1．132°，48°，3cm．
2．125°．34°
3．線段AB與CD，BC，AD，AC都是相等的線段；∠ABC，∠ADC，∠BAC，∠ACD．
∠ACB，∠DAC等都是彼此相等的角．
隨堂練習(xí)
1． 其余各邊的長(zhǎng)都是5cm，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6 cm 8cm．
習(xí)題4．2
知識(shí)技能
1．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得 AB=CD，即X+3=1 6，解得：X=13·所以周長(zhǎng)為50cm·
2． 根據(jù)勾股定理得：AD2+DO2=AO2，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，得
OA=OC．OB=OD，即：62一32=AD2，AD=√27=3√3cm，AC=2×6=12cm．
數(shù)學(xué)理解
3．(1)對(duì)角線把平行四邊形分成全等的兩部分；(2)略
§4．2 平行四邊形的判別
隨堂練習(xí)
1．(1)DA與DC，0B與OD分別相等，理由是：線段AC，BD分別是四邊形ABCD
的兩條對(duì)角線，它們互相平分；
(2)四邊形BFDE是平行四邊形，理由是：四邊形BFDE的兩條對(duì)角線EF、 BD
互相平分(即OE=OF，OB=OD)．
習(xí)題 4．3
知識(shí)技能
1．∵DF、EB是四邊形DEBF的一組平行且相等的對(duì)邊∴四邊形DEBF是平
行四邊形．
2．∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相互平分．EO= 0A/2=OC/2=OG，
Fo=BO/2= DO/2=HO，即四邊形EFGH的兩條對(duì)角線EG，F(xiàn)H互相平分
數(shù)學(xué)理解
3．∵A1B1=AB，A1B1∥AB，∴□AB B1A1是平行四邊形．
隨堂練習(xí)
1．如果相等的兩組邊分別是對(duì)邊，那么這個(gè)四邊形一定是平行四邊形；如果相
等的邊分別是鄰邊，那么這個(gè)四邊形未必是平行四邊形
2．圖中的平行四邊形有口A1A2A5A3，口A2A4A5A3，口A2A5A6A3；
習(xí)題4．4
知識(shí)技能
1．判別方法有多種，如：
(1)由∠DCA=∠BAC，得AB∥CD；再結(jié)合AB=CD即可判定四邊形
ABCD是平行四邊形；
(2)在△ABC，△CDA中，由已知條件以及AC=CA，可得△ABC △CDA(邊角邊)，
因而AD=CB，根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可判定四邊形
ABCD是平行四邊形；
(3)在△ABC、△CDA中，由已知條件以及AC=CA，可得△ABC≌△CDA，
得AB∥CD，即可判定四邊形ABCD是平行四邊形．
2．有6個(gè)平行四邊形，設(shè)圖形的中心點(diǎn)為O，6個(gè)平行四邊形分別是□FABO．
□ ABCD，□BCDO，口GDEO，口DEFO，口EFAO，理由不．
§4．3 菱形
習(xí)題 4．5
知識(shí)技能
1． △ABD中，OB=3(cm)；菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD互相平分，BD=20B=6cm．
數(shù)學(xué)理解
2． 是菱形：這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別在紙條的邊緣上，它們彼此平行，它是
平行四邊形，分別以一組鄰邊為底寫出這個(gè)平行四邊形的面積(都是底乘高)，再由紙條
等寬即它們的高相等，立即得到這組鄰邊相等．
聯(lián)系拓廣
3． 四邊形EFGH是菱形
§4．4 矩形、正方形
隨堂練習(xí)
1．∠BAD=90°
2．是矩形
問題解決
3．用繩子測(cè)量門框、桌面的對(duì)角線是否一樣長(zhǎng)即可．道理是：對(duì)角線相等的平行四邊
形是矩形，當(dāng)然，若還不能肯定其為平行四邊形，則可用繩子測(cè)量催邊是否相等．
隨堂練習(xí)
1．對(duì)角線的長(zhǎng)為：2√2cm
2．以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，共有四個(gè)等腰直角三角形，以正方形兩條
對(duì)角線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形也有四個(gè)，因而共有八個(gè)等腰三角
4．7
知識(shí)技能
1．邊長(zhǎng)為√2cm
2．
矩形的長(zhǎng)／cm
…….
8
—7
6
5
4
3
…….
矩形的寬／cm
…….
2
3
4
5
6
7
…….
矩形的面積／cm2
…….
16
21
24
25
24
2l
…….
隨著長(zhǎng)從8cm減少到3cm，矩形的面積先由16cm2增加到25cm2，然后又減
少到21cm2．
數(shù)學(xué)理解
3．四邊形EFGH是正方形，因?yàn)锳BCD是正方形，所以得出EFGH是菱形，所以
問題解決
5．略
§4．5梯形
隨堂練習(xí)
1．相同點(diǎn)：二者都是有一組對(duì)邊互相平行的四邊形；不同點(diǎn)：梯形僅有一組對(duì)
邊平行，另一組對(duì)邊不平行；平行四邊形的兩組對(duì)邊都平行。
2．70°，110°，110°，
習(xí)題 4．8
知識(shí)技能
1．△CAE是等腰三角形，理由是：等腰梯形的對(duì)角線AC、BD相等，而BD=CE，
從而AC=CE
2．∵等腰梯形的兩個(gè)腰AD與BC相等。∴∠DAE=∠CBE，E是底AB中點(diǎn)
∴AE=BE，由“邊角邊”即可確定△ADE≌△BCE
隨堂練習(xí)
1．是等腰梯形，因?yàn)檫@兩個(gè)70°的內(nèi)角的位置僅有三種可能——相鄰(頂點(diǎn)是同一條
腰的兩個(gè)端點(diǎn))、相鄰(頂點(diǎn)是同一條底邊的兩個(gè)端點(diǎn))、相對(duì)，當(dāng)頂點(diǎn)是一條腰的兩個(gè)端
點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)角應(yīng)該是互補(bǔ)的；兩個(gè)角相對(duì)時(shí)，可以推得此時(shí)的四邊形是平行四邊形，因
此，這兩個(gè)70°的內(nèi)角只能是同一條底上的兩個(gè)內(nèi)角，因此這個(gè)梯形是等腰梯形．
2．是等腰梯形，理由是：由∠B+∠BAD=3× 60°=180°，∠B+∠C=2×60°=120°得，
對(duì)邊AD，BC平行，對(duì)邊AB，CD不平行，四邊形ABCD是梯形；又∠B和∠C都等于
60°，可得這個(gè)梯形是等腰梯形。
習(xí)題4．9
知識(shí)技能
1．6個(gè)等腰梯形，如四邊形ABEF是等腰梯形，理由如下：∠ABO=∠FEO= 60°，
∠AOB+∠AOF+∠FOE=3×60°=180°，∠ABO+∠BAO+∠OAF=3×60°=180°得對(duì)邊AF、
BE平行，對(duì)邊AB、EF不平行,∴四邊形ABCD為等腰梯形。
2．是等腰梯形，理由是：由條件可得△AOD≌△BOC，因而AD=BC．
3．是等腰梯形，理由是：由已知可得△EDC和△EAB都是等腰三角形，且頂角相同，
所以。∠EDC=∠A，因而DC∥AB，又由∠A=∠B
所以四邊形ABCD是等腰梯形．
§4．6 探索多邊形的內(nèi)角和與外角和
隨堂練習(xí)
1．如圖4—4(1)對(duì)角線AC，AD，AE；(2)720°
習(xí)題4．10
知識(shí)技能
1． 七邊形，它的內(nèi)角和為(7—2)×180°=900°
數(shù)學(xué)理解
2．在中國(guó)古建筑的窗欞中，經(jīng)常可以看到多邊形；在家庭用具中，也經(jīng)?？梢?/FONT>
看到橫截面為多邊形的用具．
問題解決
3．方法不，可這樣驗(yàn)證：在四邊形的紙片上，分別撕下每個(gè)內(nèi)角，將它們的
頂點(diǎn)拼在一起(頂點(diǎn)重合)，即可得到一個(gè)周角．
隨堂練習(xí)
1．這個(gè)多邊形的邊數(shù)是360°÷60°=6．
2．存在，它是六邊形
習(xí)題4．11
知識(shí)技能
1．這個(gè)多邊形是四邊形，它的每個(gè)外角是90°
2．存在，它是十二邊形。
3．內(nèi)角和相差180°，外角和不變。
數(shù)學(xué)理解
4．(1)略；(2)沒有；(3)四邊形的外角和是360°；(4)五邊形、六邊形…一般多邊形的外
角和都等于360°。
5．最多能有三個(gè)鈍角，最多能有三個(gè)銳角。
§4．7 中心對(duì)稱圖形
隨堂練習(xí)
1．正方形是中心對(duì)稱圖形，它繞兩條對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°或其整數(shù)倍，都能
與原來的圖形重合，由此，可以驗(yàn)證正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線互
相垂直平分等性質(zhì)．
2．(1)、(3)為中心對(duì)稱圖形。
習(xí)題4．12
知識(shí)技能
1．H，I，N，O，S，X，Z字母是中心對(duì)稱圖形．
2． 邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形都是中心對(duì)稱圖形．
復(fù)習(xí)題
知識(shí)技能
1．設(shè)這個(gè)菱形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，C，D，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為0，則由菱形
的對(duì)角線垂直、平分，可得△AOB是直角，邊長(zhǎng)分別為2cm，4cm的直角三角
形，由勾股定理得，邊長(zhǎng)AB=2√5(cm)．
2．由條件可知，對(duì)角線AC、BD互相平分目相等，由OA=OB=√2AB/2，可知OA2+OB2
=AB2，即∠AOB=90°，所以AC，BD垂直平分且相等，這個(gè)四邊形必是正方形．
3．不一定是菱形，如可以是矩形．
4．(1)是正方形，因?yàn)樾D(zhuǎn)90°后，所得圖形與原來的圖形帽互重合，說明兩條
對(duì)角線能夠相互重合，它們相等，可以推得該菱形也是矩形，因此，它必是正方形．
(2)是正方形。因?yàn)椋焊鶕?jù)已知條件，這個(gè)四邊形的相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)到兩條對(duì)角
線交點(diǎn)的距離彼此相等，即兩條對(duì)角線相等、互相垂直平分，所以這個(gè)
四邊形一定是正方形．
5．
6．9邊形．
7．正方形．
8．是平行四邊形．理由是：由中心對(duì)稱性，這個(gè)四邊形相對(duì)的每對(duì)頂點(diǎn)分別中
心對(duì)稱圖形上的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它們的連線被對(duì)稱中心平分，即兩條對(duì)角線互
相平分，這個(gè)四邊形必定是平行四邊形．
9．這個(gè)圖可看做是將線段AB沿DE方向平移，使平移后的線段恰好過E點(diǎn)所形成
的．此時(shí)，線段AG，CF，DE，BF可以通過平移而相互得到，從而DE∥BF(．BC)，
DE=BC/2，即三角形ABC的中位線DE平行且等于底邊BC的一半．
數(shù)學(xué)理解
1 0．如折疊式推拉門、升降架等．
12．有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
13．是正方形．
問題解決
14．在兩腰和上、下底邊的垂直平分線的交點(diǎn)處．
15．略
16．略
17．(1)圖略
(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，可以說明AE、DF所在邊平行且
相等