小學四年級頻道為大家整理的小學四年級奧數(shù)下冊簡單的幻方及其他數(shù)陣圖教案，供大家學習參考。
簡單的幻方及其他數(shù)陣圖教案
有關幻方問題的研究在我國已流傳了兩千多年，它是具有獨特形式的填數(shù)字問題.宋朝的楊輝將幻方命名為“縱橫圖.”并探索出一些解答幻方問題的方法.隨著歷史的進展，許多人對幻方做了進一步的研究，創(chuàng)造了許多絢麗多彩的幻方.
據(jù)傳說在夏禹時代，洛水中出現(xiàn)過一只神龜，背上有圖有文，后人稱它為“洛書”.
洛書所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9這九個數(shù)，使每行、每列、及二條對角線上各自三數(shù)之和均相等，這樣的3×3的數(shù)陣陣列稱為三階幻方.
一般地說，在n×n（n行n列）的方格里，既不重復又不遺漏地填上n2個連續(xù)的自然數(shù)（一般從1開始，也可不從1開始）每個數(shù)占一格，并使排在任一行、任一列和兩條對角線上的n個自然數(shù)的和都相等，這樣的數(shù)表叫做n階幻方.這個和叫做幻和，n叫做階.
楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中，總結洛書幻方構造方法時寫到：“九子排列，上、下對易，左右相更，四維挺出.”現(xiàn)用下圖對這四句話進行解釋.
九子排列 上、下對易 左右相更 四維挺出
怎樣構造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中間位置的數(shù)，最后根據(jù)奇、偶情況試填其他方格內(nèi)的數(shù).
分析 為了便于敘述，先用字母表示圖中要填寫的數(shù)字.如上右圖所示.
解答這個題目，可以分三步解決：
①先求出每行、每列三個數(shù)的和是多少？
②再求中間位置的數(shù)是多少？此題是求E=？
③最后試填其他方格里的數(shù).
∵A+B+C+D+E+F+G+H+I
=1+2+3+4+5+6+7+8+9
=45.
∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.
∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.
∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E
=（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F）
=15X4.
45+3E=60
3E=15
E=5.
這樣，正中央格中的數(shù)一定是5.
由于在同一條直線的三個數(shù)之和是15，因此若某格中的數(shù)是奇數(shù)，那么與這個數(shù)在同一條直線上的另兩個數(shù)的奇偶性相同.
因此，四個角上的數(shù)A、C、G、I必為偶數(shù).（否則，若A為奇數(shù)，則I為奇數(shù).此時若B為奇數(shù)，則其余所有格亦為奇數(shù)；若B為偶數(shù)，則其余所有格亦為偶數(shù).無論哪種情形，都與1至9中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)這一事實矛盾.）
因此，B、D、F、H為奇數(shù).
我們不妨認為A=2（否則，可把3×3方格繞中心塊旋轉即能做到這一點）.此時I=8.
此時有兩種選擇：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的數(shù)隨之而定.
因此，如果把經(jīng)過中心塊旋轉而能完全重合的兩種填數(shù)法視作一種的話，一共只有兩種不同的填數(shù)法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被確定位置后，其他數(shù)的位置隨之而定）.
解：按照上面的分析，我們可以得到兩個解（還有另外6個可以由這兩個解經(jīng)過繞中心塊旋轉而得到，請大家自己完成）.
下面我們就來介紹一些簡單的幻方.
例1 將1～9這九個數(shù)，填入下左圖中的方格中，使每行、每列、兩條對角線上三個數(shù)字的和都相等.