數(shù)的整除問題奧數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練題
1.整除——約數(shù)和倍數(shù)
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b(b不等于0)，除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)(或者說余數(shù)是0)，我們就說，a能被b整除(或者說b能整除a)。記作b|a.否則，稱為a不能被b整除，(或b不能整除a)，記作ba。
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù);63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。
2.數(shù)的整除性質(zhì)
性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。
即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。
例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，
并且2|(10—6)。
性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc|a，那么b|a，c|a。
性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。
即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。
例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1,
那么(2×7)|28。
性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c|b，b|a，那么c|a。
例如：如果3|9，9|27，那么3|27。
3.數(shù)的整除特征
①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數(shù)字是偶數(shù)(包括0)的整數(shù)，必能被2整除;另一方面，能被2整除的數(shù)，其個位數(shù)字只能是偶數(shù)(包括0).下面“特征”含義相似。
②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。
③能被3(或9)整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4(或25)整除。
例如：1864=1800+64，因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因?yàn)?|64，所以1864能被4整除.但因?yàn)?564，所以1864不能被25整除.
⑤能被8(或125)整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8(或125)整除。
例如：29375=29000+375，因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25|375，所以29375能被125整除.但因?yàn)?375，所以829375。
⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差(大減小)是11的倍數(shù)。
例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除?
解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8+6+4+2=20.因?yàn)?5—20=5，又因?yàn)?15，所以11123456789。
再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)?
解：這個數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11|0.因此13574是11的倍數(shù)。
⑦能被7(11或13)整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差(以大減小)能被7(11或13)整除。
例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)?
解：把1059282分為1059和282兩個數(shù).因?yàn)?059-282=777，又7|777，所以7|1059282.因此1059282是7的倍數(shù)。
再例如：判斷3546725能否被13整除?
解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因?yàn)?21—2=819，又13|819，所以13|2821，進(jìn)而13|3546725.
1.整除——約數(shù)和倍數(shù)
例如：15÷3=5，63÷7=9
一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b(b不等于0)，除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)(或者說余數(shù)是0)，我們就說，a能被b整除(或者說b能整除a)。記作b|a.否則，稱為a不能被b整除，(或b不能整除a)，記作ba。
如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。
例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù);63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。
2.數(shù)的整除性質(zhì)
性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。
即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。
例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，
并且2|(10—6)。
性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc|a，那么b|a，c|a。
性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。
即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。
例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1,
那么(2×7)|28。
性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c|b，b|a，那么c|a。
例如：如果3|9，9|27，那么3|27。
3.數(shù)的整除特征
①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數(shù)字是偶數(shù)(包括0)的整數(shù)，必能被2整除;另一方面，能被2整除的數(shù)，其個位數(shù)字只能是偶數(shù)(包括0).下面“特征”含義相似。
②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。
③能被3(或9)整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4(或25)整除。
例如：1864=1800+64，因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因?yàn)?|64，所以1864能被4整除.但因?yàn)?564，所以1864不能被25整除.
⑤能被8(或125)整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8(或125)整除。
例如：29375=29000+375，因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25|375，所以29375能被125整除.但因?yàn)?375，所以829375。
⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差(大減小)是11的倍數(shù)。
例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除?
解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8+6+4+2=20.因?yàn)?5—20=5，又因?yàn)?15，所以11123456789。
再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)?
解：這個數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11|0.因此13574是11的倍數(shù)。
⑦能被7(11或13)整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差(以大減小)能被7(11或13)整除。
例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)?
解：把1059282分為1059和282兩個數(shù).因?yàn)?059-282=777，又7|777，所以7|1059282.因此1059282是7的倍數(shù)。
再例如：判斷3546725能否被13整除?
解：把3546725分為3546和725兩個數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因?yàn)?21—2=819，又13|819，所以13|2821，進(jìn)而13|3546725.