題型一　定值、定點(diǎn)問題
    例1　已知橢圓C：+=1經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).
    (1)求橢圓C的方程;
    (2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且=λ，=μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ+μ的值是否為定值?若是，求出λ+μ的值;否則，請說明理由.
    破題切入點(diǎn)　(1)待定系數(shù)法.
    (2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式=λ，=μ.把λ，μ用點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)表示出來，只要證明λ+μ的值與直線的斜率k無關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值.
    解　(1)依題意得b=，e==，a2=b2+c2，
    ∴a=2，c=1，∴橢圓C的方程為+=1.
    (2)因直線l與y軸相交于點(diǎn)M，故斜率存在，
    又F坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線l方程為
    y=k(x-1)，求得l與y軸交于M(0，-k)，
    設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，
    由
    消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
    ∴x1+x2=，x1x2=，
    又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，
    ∴λ=，同理μ=，
    ∴λ+μ=+=
    所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線λ+μ的值為定值-.
    題型二　定直線問題
    例2　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A，B兩點(diǎn).
    (1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值;
    (2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在，求出l的方程;若不存在，請說明理由.
    破題切入點(diǎn)　假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長，利用變量的系數(shù)恒為零求解.
    解　方法一　(1)依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，-p)，
    可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
    直線AB的方程為y=kx+p，
    與x2=2py聯(lián)立得
    消去y得x2-2pkx-2p2=0.
    由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.
    于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|
    =p|x1-x2|=p
    =p=2p2，
    ∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.
    (2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
    AC的中點(diǎn)為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P，Q，PQ的中點(diǎn)為H，
    則O′H⊥PQ，Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為(，).
    ∵O′P=AC==，
    O′H==|2a-y1-p|，
    ∴PH2=O′P2-O′H2
    =(y+p2)-(2a-y1-p)2
    =(a-)y1+a(p-a)，
    ∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)].
    令a-=0，得a=，
    此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
    其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
    方法二　(1)前同方法一，再由弦長公式得
    AB=|x1-x2|
    =·
    =·
    =2p·，
    又由點(diǎn)到直線的距離公式得d=.
    從而S△ABN=·d·AB
    =·2p··
    =2p2.
    ∴當(dāng)k=0時(shí)，(S△ABN)min=2p2.
    (2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
    則以AC為直徑的圓的方程為
    (x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，
    將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0，
    則Δ=x-4(a-p)(a-y1)
    =4[(a-)y1+a(p-a)].
    設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
    則有PQ=|x3-x4|=
    =2.
    令a-=0，得a=，
    此時(shí)PQ=p為定值，故滿足條件的直線l存在，
    其方程為y=，即拋物線的通徑所在的直線.
    題型三　定圓問題
    例3　已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak.
    (1)求橢圓G的方程;
    (2)求△AkF1F2的面積;
    (3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.
    破題切入點(diǎn)　(1)根據(jù)定義，待定系數(shù)法求方程.
    (2)直接求.
    (3)關(guān)鍵看長軸兩端點(diǎn).
    解　(1)設(shè)橢圓G的方程為+=1(a>b>0)，半焦距為c，則解得
    所以b2=a2-c2=36-27=9.
    所以所求橢圓G的方程為+=1.
    (2)點(diǎn)Ak的坐標(biāo)為(-k,2)，
    S△AkF1F2=×|F1F2|×2=×6×2=6.
    (3)若k≥0，由62+02+12k-0-21=15+12k>0，可知點(diǎn)(6,0)在圓Ck外;
    若k<0，由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0，可知點(diǎn)(-6,0)在圓Ck外.
    所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G.
    即不存在圓Ck包圍橢圓G.
    總結(jié)提高　(1)定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān).在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.
    (2)由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)，則直線定點(diǎn)(x0，y0);若得到了直線方程的斜截式：y=kx+m，則直線定點(diǎn)(0，m).
    (3)定直線問題一般都為特殊直線x=x0或y=y0型.
    1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.
    (1)求k的取值范圍;
    (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量+與共線?如果存在，求k值;如果不存在，請說明理由.
    解　(1)由已知條件，得直線l的方程為y=kx+，
    代入橢圓方程得+(kx+)2=1.
    整理得(+k2)x2+2kx+1=0.①
    直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0，
    解得k<-或k>.
    即k的取值范圍為(-∞，-)∪(，+∞).
    (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
    則+=(x1+x2，y1+y2)，
    由方程①，得x1+x2=-.②
    又y1+y2=k(x1+x2)+2.③
    而A(，0)，B(0,1)，=(-，1).
    所以+與共線等價(jià)于x1+x2=-(y1+y2)，
    將②③代入上式，解得k=.
    由(1)知k<-或k>，
    故不存在符合題意的常數(shù)k.
    2.已知雙曲線方程為x2-=1，問：是否存在過點(diǎn)M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且M是線段PQ的中點(diǎn)?如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由.
    解　顯然x=1不滿足條件，設(shè)l：y-1=k(x-1).
    聯(lián)立y-1=k(x-1)和x2-=1，
    消去y得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0，
    由Δ>0，得k<，x1+x2=，
    由M(1,1)為PQ的中點(diǎn)，得==1，
    解得k=2，這與k<矛盾，
    所以不存在滿足條件的直線l.
    3.設(shè)橢圓E：+=1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
    (1)求橢圓E的方程;
    (2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥?若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍;若不存在，請說明理由.
    解　(1)因?yàn)闄E圓E：+=1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，
    所以解得
    所以橢圓E的方程為+=1.
    (2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程組得x2+2(kx+m)2=8，
    即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0，
    則Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0，即8k2-m2+4>0.
    故
    y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
    =-+m2
    =.
    要使⊥，需使x1x2+y1y2=0，
    即+=0，
    所以3m2-8k2-8=0，
    所以k2=≥0.
    又8k2-m2+4>0，所以所以m2≥，
    即m≥或m≤-，
    因?yàn)橹本€y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
    所以圓的半徑為r=，
    r2===，r=，
    所求的圓為x2+y2=，
    此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足m≥或m≤-，
    

    而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±與橢圓+=1的兩個(gè)交點(diǎn)為(，±)或(-，±)滿足⊥，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且⊥.
    4.(2014·重慶)如圖，設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面積為.
    (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
    (2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在，求出圓的方程;若不存在，請說明理由.
    解　(1)設(shè)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2=a2-b2.
    由=2，得DF1==c，
    從而S△DF1F2=DF1·F1F2=c2=，故c=1，
    從而DF1=.
    由DF1⊥F1F2，得DF=DF+F1F=，
    因此DF2=.
    所以2a=DF1+DF2=2，
    故a=，b2=a2-c2=1.
    因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
    (2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2.
    由圓和橢圓的對稱性，易知，x2=-x1，y1=y2.
    由(1)知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，
    所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1)，
    再由F1P1⊥F2P2，得-(x1+1)2+y=0.
    由橢圓方程得1-=(x1+1)2，即3x+4x1=0，
    解得x1=-或x1=0.
    當(dāng)x1=0時(shí)，P1，P2重合，題設(shè)要求的圓不存在.
    當(dāng)x1=-時(shí)，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.
    設(shè)C(0，y0)，
    由CP1⊥F1P1，得·=-1.
    而求得y1=，故y0=.
    圓C的半徑CP1= =.
    綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，
    其方程為x2+(y-)2=.
    5.(2014·江西)如圖，已知拋物線C：x2=4y，過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
    (1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;
    (2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y=2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：MN-MN為定值，并求此定值.
    (1)證明　依題意可設(shè)AB方程為y=kx+2，
    代入x2=4y，
    得x2=4(kx+2)，即x2-4kx-8=0.
    設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2=-8.
    直線AO的方程為y=x;
    BD的方程為x=x2.
    解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為
    注意到x1x2=-8及x=4y1，
    則有y===-2.
    因此動(dòng)點(diǎn)D在定直線y=-2上(x≠0).
    

    (2)解　依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a≠0)，代入x2=4y得x2=4(ax+b)，
    即x2-4ax-4b=0.
    由Δ=0得(4a)2+16b=0，化簡整理得b=-a2.
    故切線l的方程可寫為y=ax-a2.
    分別令y=2，y=-2得N1，N2的坐標(biāo)為
    N1(+a,2)，N2(-+a，-2)，
    則MN-MN=(-a)2+42-(+a)2=8，
    即MN-MN為定值8.
    6.(2014·福建)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.
    (1)求曲線Γ的方程.
    (2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.
    解　方法一　(1)設(shè)S(x，y)為曲線Γ上任意一點(diǎn)，
    依題意，點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等，所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線Γ的方程為x2=4y.
    (2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度不變.證明如下：
    由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2，
    設(shè)P(x0，y0)(x0≠0)，則y0=x，
    由y′=x，得切線l的斜率
    k=y′|x=x0=x0，
    所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0)，
    即y=x0x-x.
    由得A(x0,0).
    由得M(x0+，3).
    又N(0,3)，所以圓心C(x0+，3)，
    半徑r=MN=|x0+|，
    AB=
    = =.
    所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度不變.
    方法二　(1)設(shè)S(x，y)為曲線Γ上任意一點(diǎn)，
    則|y-(-3)|-=2，
    依題意，點(diǎn)S(x，y)只能在直線y=-3的上方，所以y>-3，所以=y+1，
    化簡，得曲線Γ的方程為x2=4y.