一、選擇題
1.(2014山東濟(jì)南，第2題，3分)如圖，點O在直線AB上，若 ∠A=30，則∠ABC 的度數(shù)是
A. 45B. 30 C. 25 D.60
【解析】因為 ，所以 ，故選C.
2.(2014•四川涼山州，第2題，4分)下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是( )
A.∠1、∠2沒有公共頂點
B.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線
C.∠1、∠2有公共頂點，兩邊互為反向延長線
D.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線
考點： 對頂角、鄰補(bǔ)角
分析： 根據(jù)對頂角的特征，有公共頂點，且兩邊互為反向延長線，對各選項分析判斷后利用排除法求解.
解答： 解：A.∠1、∠2沒有公共頂點，不是對頂角，故本選項錯誤;
B.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線，不是對頂角，故本選項錯誤;
C.∠1、∠2有公共頂點，兩邊互為反向延長線，是對頂角，故本選項正確;
D.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線，不是對頂角，故本選項錯誤;
故選：C.
點評： 本題主要考查了對頂角的定義，熟記對頂角的圖形特征是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題，比較簡單.
3.(2014•襄陽，第7題3分)下列命題錯誤的是( )
A. 所有的實數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示 B. 等角的補(bǔ)角相等
C. 無理數(shù)包括正無理數(shù)，0，負(fù)無理數(shù) D. 兩點之間，線段最短
考點： 命題與定理.
專題： 計算題.
分析： 根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)對A進(jìn)行判斷;
根據(jù)補(bǔ)角的定義對B進(jìn)行判斷;
根據(jù)無理數(shù)的分類對C進(jìn)行判斷;
根據(jù)線段公理對D進(jìn)行判斷.
解答： 解：A、所有的實數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，所以A選項的說法正確;
B、等角的補(bǔ)角相等，所以B選項的說法正確;
C、無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理，所以C選項的說法錯誤;
D、兩點之間，線段最短，所以D選項的說法正確.
故選C.
點評： 本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題;正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題;經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.
4.(2014•浙江金華，第2題4分)如圖，經(jīng)過刨平的木析上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線. 能解釋這一實際問題的數(shù)學(xué)知識是【 】
A.兩點確定一條直線 B.兩點之間線段最短
C.垂線段最短 D.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
5.(2014•濱州，第5題3分)如圖，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，則∠BOD的度數(shù)為( )
A. 50 B. 60 C. 65 D. 70
考點： 角的計算;角平分線的定義
分析： 先根據(jù)OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC與∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出結(jié)論.
解答： 解：∵OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD= ∠COE= ×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
故選D.
點評： 本題考查的是角的計算，熟知角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵.
6.(2014•濟(jì)寧，第3題3分)把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程.用幾何知識解釋其道理正確的是( )
A. 兩點確定一條直線 B. 垂線段最短
C. 兩點之間線段最短 D. 三角形兩邊之和大于第三邊
考點： 線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.
專題： 應(yīng)用題.
分析： 此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，由題意把一條彎曲的公路改成直道，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點間線段最短定理.
解答： 解：要想縮短兩地之間的里程，就盡量是兩地在一條直線上，因為兩點間線段最短.
故選C.
點評： 本題考查了線段的性質(zhì)，牢記線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
7.(2014年山東泰安，第5題3分)如圖，把一直尺放置在一個三角形紙片上，則下列結(jié)論正確的是( )
A.∠1+∠6>180° B.∠2+∠5<180° C. ∠3+∠4<180° D. ∠3+∠7>180°
分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠3+∠4=180°，∠2=∠7，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠2+∠3=180°+∠A，推出結(jié)果后判斷各個選項即可.
解：A、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，∵∠6=∠4，∠3>∠1，
∴∠6+∠1<180°，故本選項錯誤;
B、∵DG∥EF，∴∠5=∠3，∴∠2+∠5=∠2+∠3
=(180°﹣∠1)+(180°﹣∠ALH)=360°﹣(∠1+∠ALH)=360°﹣(180°﹣∠A)
=180°+∠A>180°，故本選項錯誤;
C、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，故本選項錯誤;
D、∵DG∥EF，∴∠2=∠7，∵∠3+∠2=180°+∠A>180°，∴∠3+∠7>180°，故本選項正確;故選D.
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中.
8. ( 2014•廣西賀州，第3題3分)如圖，OA⊥OB，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)是( )
A. 35° B. 40° C. 45° D. 60°
考點： 余角和補(bǔ)角
分析： 根據(jù)兩個角的和為90°，可得兩角互余，可得答案.
解答： 解：∵OA⊥OB，若∠1=55°，
∴∠AO∠=90°，
即∠2+∠1=90°，
∴∠2=35°，
故選：A.
點評： 本題考查了余角和補(bǔ)角，兩個角的和為90°，這兩個角互余.
9.(2014•襄陽，第5題3分)如圖，BC⊥AE于點C，CD∥AB，∠B=55°，則∠1等于( )
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
考點： 平行線的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì)
分析： 利用“直角三角形的兩個銳角互余”的性質(zhì)求得∠A=35°，然后利用平行線的性質(zhì)得到∠1=∠B=35°.
解答： 解：如圖，∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°.
∴∠A+∠B=90°.
又∵∠B=55°，
∴∠A=35°.
又CD∥AB，
∴∠1=∠B=35°.
故選：A.
點評： 本題考查了平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì).此題也可以利用垂直的定義、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)來求∠1的度數(shù).
10. (2014•湖北黃岡,第2題3分)如果α與β互為余角，則( )
A. α+β=180° B. α﹣β=180° C. α﹣β=90° D. α+β=90°
考點： 余角和補(bǔ)角.
分析： 根據(jù)互為余角的定義，可以得到答案.
解答： 解：如果α與β互為余角，則α+β=900.
故選：D.
點評： 此題主要考查了互為余角的性質(zhì)，正確記憶互為余角的定義是解決問題的關(guān)鍵.
二、填空題
1. (2014•山東棗莊，第18題4分)圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線(圖中虛線)剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為 (3 +3 ) cm.
考點： 平面展開-最短路徑問題;截一個幾何體
分析： 要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果.
解答： 解：如圖所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形，
在Rt△BCD中，CD= =6 cm，
∴BE=CD=3 cm，
在Rt△ACE中，AE= =3 cm，
∴從頂點A爬行到頂點B的最短距離為(3 +3 )cm.
故答案為：(3 +3 ).
點評： 考查了平面展開﹣最短路徑問題，本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題.
2. ( 2014•福建泉州，第13題4分)如圖，直線a∥b，直線c與直線a，b都相交，∠1=65°，則∠2= 65 °.
考點： 平行線的性質(zhì).
分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2，代入求出即可.
解答： 解：∵直線a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠1=65°，
∴∠2=65°，
故答案為：65.
點評： 本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：兩直線平行，同位角相等.
3. ( 2014•福建泉州，第15題4分)如圖，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，則△ABC的外角∠ABD= 110 °.
考點： 等腰三角形的性質(zhì).
分析： 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠A，再根據(jù)三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，進(jìn)行計算即可.
解答： 解：∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
∵∠C=40°，
∴∠A=70°
∴∠ABD=∠A+∠C=110°.
故答案為：110.
點評： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，用到的知識點是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
4.(2014•邵陽，第11題3分)已知∠α=13°，則∠α的余角大小是 77° .
考點： 余角和補(bǔ)角.
分析： 根據(jù)互為余角的兩個角的和等于90°列式計算即可得解.
解答： 解：∵∠α=13°，
∴∠α的余角=90°﹣13°=77°.
故答案為：77°.
點評： 本題考查了余角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵.
5.(2014•浙江湖州，第13題4分)計算：50°﹣15°30′= .
分析：根據(jù)度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根據(jù)同單位的相減，可得答案.
解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′，故答案為：34°30′.
點評：此類題是進(jìn)行度、分、秒的加法計算，相對比較簡單，注意以60為進(jìn)制即可.
6. ( 2014•福建泉州，第9題4分)如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOD=50°，則∠BOC= 50 °.
考點： 對頂角、鄰補(bǔ)角.
分析： 根據(jù)對頂角相等，可得答案.
解答： 解;∵∠BOC與∠AOD是對頂角，
∴∠BOC=∠AOD=50°，
故答案為：50.
點評： 本題考查了對頂角與鄰補(bǔ)角，對頂角相等是解題關(guān)鍵.
1.(2014山東濟(jì)南，第2題，3分)如圖，點O在直線AB上，若 ∠A=30，則∠ABC 的度數(shù)是
A. 45B. 30 C. 25 D.60
【解析】因為 ，所以 ，故選C.
2.(2014•四川涼山州，第2題，4分)下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是( )
A.∠1、∠2沒有公共頂點
B.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線
C.∠1、∠2有公共頂點，兩邊互為反向延長線
D.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線
考點： 對頂角、鄰補(bǔ)角
分析： 根據(jù)對頂角的特征，有公共頂點，且兩邊互為反向延長線，對各選項分析判斷后利用排除法求解.
解答： 解：A.∠1、∠2沒有公共頂點，不是對頂角，故本選項錯誤;
B.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線，不是對頂角，故本選項錯誤;
C.∠1、∠2有公共頂點，兩邊互為反向延長線，是對頂角，故本選項正確;
D.∠1、∠2兩邊不互為反向延長線，不是對頂角，故本選項錯誤;
故選：C.
點評： 本題主要考查了對頂角的定義，熟記對頂角的圖形特征是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題，比較簡單.
3.(2014•襄陽，第7題3分)下列命題錯誤的是( )
A. 所有的實數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示 B. 等角的補(bǔ)角相等
C. 無理數(shù)包括正無理數(shù)，0，負(fù)無理數(shù) D. 兩點之間，線段最短
考點： 命題與定理.
專題： 計算題.
分析： 根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)對A進(jìn)行判斷;
根據(jù)補(bǔ)角的定義對B進(jìn)行判斷;
根據(jù)無理數(shù)的分類對C進(jìn)行判斷;
根據(jù)線段公理對D進(jìn)行判斷.
解答： 解：A、所有的實數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，所以A選項的說法正確;
B、等角的補(bǔ)角相等，所以B選項的說法正確;
C、無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理，所以C選項的說法錯誤;
D、兩點之間，線段最短，所以D選項的說法正確.
故選C.
點評： 本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題;正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題;經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.
4.(2014•浙江金華，第2題4分)如圖，經(jīng)過刨平的木析上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線. 能解釋這一實際問題的數(shù)學(xué)知識是【 】
A.兩點確定一條直線 B.兩點之間線段最短
C.垂線段最短 D.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
5.(2014•濱州，第5題3分)如圖，OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，則∠BOD的度數(shù)為( )
A. 50 B. 60 C. 65 D. 70
考點： 角的計算;角平分線的定義
分析： 先根據(jù)OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC與∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出結(jié)論.
解答： 解：∵OB是∠AOC的角平分線，OD是∠COE的角平分線，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD= ∠COE= ×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
故選D.
點評： 本題考查的是角的計算，熟知角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵.
6.(2014•濟(jì)寧，第3題3分)把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程.用幾何知識解釋其道理正確的是( )
A. 兩點確定一條直線 B. 垂線段最短
C. 兩點之間線段最短 D. 三角形兩邊之和大于第三邊
考點： 線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.
專題： 應(yīng)用題.
分析： 此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，由題意把一條彎曲的公路改成直道，肯定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點間線段最短定理.
解答： 解：要想縮短兩地之間的里程，就盡量是兩地在一條直線上，因為兩點間線段最短.
故選C.
點評： 本題考查了線段的性質(zhì)，牢記線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
7.(2014年山東泰安，第5題3分)如圖，把一直尺放置在一個三角形紙片上，則下列結(jié)論正確的是( )
A.∠1+∠6>180° B.∠2+∠5<180° C. ∠3+∠4<180° D. ∠3+∠7>180°
分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠3+∠4=180°，∠2=∠7，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠2+∠3=180°+∠A，推出結(jié)果后判斷各個選項即可.
解：A、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，∵∠6=∠4，∠3>∠1，
∴∠6+∠1<180°，故本選項錯誤;
B、∵DG∥EF，∴∠5=∠3，∴∠2+∠5=∠2+∠3
=(180°﹣∠1)+(180°﹣∠ALH)=360°﹣(∠1+∠ALH)=360°﹣(180°﹣∠A)
=180°+∠A>180°，故本選項錯誤;
C、∵DG∥EF，∴∠3+∠4=180°，故本選項錯誤;
D、∵DG∥EF，∴∠2=∠7，∵∠3+∠2=180°+∠A>180°，∴∠3+∠7>180°，故本選項正確;故選D.
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中.
8. ( 2014•廣西賀州，第3題3分)如圖，OA⊥OB，若∠1=55°，則∠2的度數(shù)是( )
A. 35° B. 40° C. 45° D. 60°
考點： 余角和補(bǔ)角
分析： 根據(jù)兩個角的和為90°，可得兩角互余，可得答案.
解答： 解：∵OA⊥OB，若∠1=55°，
∴∠AO∠=90°，
即∠2+∠1=90°，
∴∠2=35°，
故選：A.
點評： 本題考查了余角和補(bǔ)角，兩個角的和為90°，這兩個角互余.
9.(2014•襄陽，第5題3分)如圖，BC⊥AE于點C，CD∥AB，∠B=55°，則∠1等于( )
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
考點： 平行線的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì)
分析： 利用“直角三角形的兩個銳角互余”的性質(zhì)求得∠A=35°，然后利用平行線的性質(zhì)得到∠1=∠B=35°.
解答： 解：如圖，∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°.
∴∠A+∠B=90°.
又∵∠B=55°，
∴∠A=35°.
又CD∥AB，
∴∠1=∠B=35°.
故選：A.
點評： 本題考查了平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì).此題也可以利用垂直的定義、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)來求∠1的度數(shù).
10. (2014•湖北黃岡,第2題3分)如果α與β互為余角，則( )
A. α+β=180° B. α﹣β=180° C. α﹣β=90° D. α+β=90°
考點： 余角和補(bǔ)角.
分析： 根據(jù)互為余角的定義，可以得到答案.
解答： 解：如果α與β互為余角，則α+β=900.
故選：D.
點評： 此題主要考查了互為余角的性質(zhì)，正確記憶互為余角的定義是解決問題的關(guān)鍵.
二、填空題
1. (2014•山東棗莊，第18題4分)圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線(圖中虛線)剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為 (3 +3 ) cm.
考點： 平面展開-最短路徑問題;截一個幾何體
分析： 要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果.
解答： 解：如圖所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形，
在Rt△BCD中，CD= =6 cm，
∴BE=CD=3 cm，
在Rt△ACE中，AE= =3 cm，
∴從頂點A爬行到頂點B的最短距離為(3 +3 )cm.
故答案為：(3 +3 ).
點評： 考查了平面展開﹣最短路徑問題，本題就是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解決問題.
2. ( 2014•福建泉州，第13題4分)如圖，直線a∥b，直線c與直線a，b都相交，∠1=65°，則∠2= 65 °.
考點： 平行線的性質(zhì).
分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2，代入求出即可.
解答： 解：∵直線a∥b，
∴∠1=∠2，
∵∠1=65°，
∴∠2=65°，
故答案為：65.
點評： 本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：兩直線平行，同位角相等.
3. ( 2014•福建泉州，第15題4分)如圖，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，則△ABC的外角∠ABD= 110 °.
考點： 等腰三角形的性質(zhì).
分析： 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠A，再根據(jù)三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，進(jìn)行計算即可.
解答： 解：∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
∵∠C=40°，
∴∠A=70°
∴∠ABD=∠A+∠C=110°.
故答案為：110.
點評： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，用到的知識點是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.
4.(2014•邵陽，第11題3分)已知∠α=13°，則∠α的余角大小是 77° .
考點： 余角和補(bǔ)角.
分析： 根據(jù)互為余角的兩個角的和等于90°列式計算即可得解.
解答： 解：∵∠α=13°，
∴∠α的余角=90°﹣13°=77°.
故答案為：77°.
點評： 本題考查了余角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵.
5.(2014•浙江湖州，第13題4分)計算：50°﹣15°30′= .
分析：根據(jù)度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根據(jù)同單位的相減，可得答案.
解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′，故答案為：34°30′.
點評：此類題是進(jìn)行度、分、秒的加法計算，相對比較簡單，注意以60為進(jìn)制即可.
6. ( 2014•福建泉州，第9題4分)如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOD=50°，則∠BOC= 50 °.
考點： 對頂角、鄰補(bǔ)角.
分析： 根據(jù)對頂角相等，可得答案.
解答： 解;∵∠BOC與∠AOD是對頂角，
∴∠BOC=∠AOD=50°，
故答案為：50.
點評： 本題考查了對頂角與鄰補(bǔ)角，對頂角相等是解題關(guān)鍵.