一、設計構思
1、設計理念
注重發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，倡導學生積極主動探索、動手實踐與相互合作交流的數(shù)學學習方式。這種方式有助于發(fā)揮學生學習主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。我們應積極創(chuàng)設條件，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。
注重提高學生數(shù)學思維能力。課堂教學是促進學生數(shù)學思維能力發(fā)展的主陣地。問題解決是培養(yǎng)學生思維能力的主要途徑。所設計的問題應有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等教學活動。內(nèi)容的呈現(xiàn)應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求。伴隨新的問題發(fā)現(xiàn)和問題解決后成功感的滿足，由此刺激學生非認知深層系統(tǒng)的良性運行，使其產(chǎn)生“樂學”的余味，學生學習的積極性與主動性在教學中便自發(fā)生成。本節(jié)主要安排應用類比法進行探討，加深學生對類比法的體會與應用。
注重學生多層次的發(fā)展。在問題解決的探究過程中應體現(xiàn)“以人為本”，充分體現(xiàn)“人人學有價值的數(shù)學，人人都能獲得必需的數(shù)學”，“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的教學理念。有意義的數(shù)學學習必須建立在學生的主觀愿望和知識經(jīng)驗基礎之上，而學生的基礎知識和學習能力是多層次的，所以設計的問題也應有層次性，使各層次學生都得到發(fā)展。
注重信息技術與數(shù)學課程的整合。高中數(shù)學課程應盡量使用科學型計算器，各種數(shù)學教育技術平臺，加強數(shù)學教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)。
另外，在數(shù)學教學中，強調(diào)數(shù)學本質(zhì)的同時，也讓學生通過適度的形式化，較好的理解和使用數(shù)學概念、性質(zhì)。
2、教材分析
冪函數(shù)是江蘇教育出版社普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(必修1)第二章第四節(jié)的內(nèi)容。該教學內(nèi)容在人教版試驗修訂本(必修)中已被刪去。標準將該內(nèi)容重新提出，正是考慮到冪函數(shù)在實際生活的應用。故在教學過程及后繼學習過程中，應能夠讓學生體會其實際應用。《標準》將冪函數(shù)限定為五個具體函數(shù)，通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì)。其中，學生在初中已經(jīng)學習了y=x、y=x2、y=x-1等三個簡單的冪函數(shù)，對它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認識?，F(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念，有助于學生形成完整的知識結構。學生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象，研究了兩個特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法。因此，教材安排學習冪函數(shù)，除內(nèi)容本身外，掌握研究函數(shù)的一般思想方法是另一目的，另外應讓學生了解利用信息技術來探索函數(shù)圖象及性質(zhì)是一個重要途徑。該內(nèi)容安排一課時。
3、教學目標的確定
鑒于上述對教材的分析和新課程的理念確定如下教學目標：
⑴掌握冪函數(shù)的形式特征，掌握具體冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
⑵能應用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關簡單問題。
⑶加深學生對研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗。
⑷培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納能力。了解類比法在研究問題中的作用。
⑸滲透辨證唯物主義觀點和方法論，培養(yǎng)學生運用具體問題具體分析的方法分析問題、解決問題的能力。
4、教學方法和教具的選擇
基于對課程理念的理解和對教材的分析，運用問題情境可以使學生較快的進入數(shù)學知識情景，使學生對數(shù)學知識結構作主動性的擴展，通過問題的導引，學生對數(shù)學問題探究，進行數(shù)學建構，并能運用數(shù)學知識解決問題，讓學生有運用數(shù)學成功的體驗。本課采用教師在學生原有的知識經(jīng)驗和方法上，引導學生提出問題、解決問題的教學方法，體現(xiàn)以學生為主體，教師主導作用的教學思想。
教具：多媒體。制作多媒體課件以提高教學效率。
5、教學重點和難點
重點是從具體冪函數(shù)歸納認識冪函數(shù)的一些性質(zhì)并作簡單應用。
難點是引導學生概括出冪函數(shù)性質(zhì)。
6、教學流程
基于新課程理念在教學過程中的體現(xiàn)，教學流程的基線為：
考慮到學生已經(jīng)學習了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，對函數(shù)的學習、研究有了一定的經(jīng)驗和基本方法，所以教學流程又分兩條線，一條以內(nèi)容為明線，另一條以研究函數(shù)的基本內(nèi)容和方法為暗線，教學過程中同時展開。
明線：
暗線：
二、實施方案
問題導引 師生活動 設計意圖
問題情境 ⑴寫出下列y關于x的函數(shù)解析式：
①正方形邊長x、面積y
②正方體棱長x、體積y
③正方形面積x、邊長y
④某人騎車x秒內(nèi)勻速前進了1km,騎車速度為y
⑤一物體位移y與位移時間x，速度1m/s
學生口答，教師板書答案?；脽羝菔締栴}。
由具體問題入手，從熟悉的情景引入，提高學生的參與程度。符合學生認識特點。
⑵上述函數(shù)解析式有什么共同特征?是否為指數(shù)函數(shù)? 學生相互討論，必要時，教師將解析式寫成指數(shù)冪形式，以啟發(fā)學生歸納。投影演示定義。 引導學生觀察，訓練學生歸納能力。并與前面知識進行區(qū)分，以進一步幫助學生明晰概念。
⑶判別下列函數(shù)中有幾個冪函數(shù)?
①y= ②y=2x2③y=x ④y=x2+x ⑤y=-x3
學生獨立思考，回答。學生鑒別?；脽羝菔绢}目。
鞏固概念，強化學生對概念形式特征的把握。
⑷冪函數(shù)具有哪些性質(zhì)?研究函數(shù)應該是哪些方面的內(nèi)容。前面指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)研究了哪些內(nèi)容?
學生討論，教師引導。學生回答。
引導學生回想前面學習指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的研究內(nèi)容和過程。啟發(fā)學生用類比思想進行研究冪函數(shù)。
⑸冪函數(shù)的定義域是否與對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)一樣，具有相同的定義域? 學生小組討論，得到結論。引導學生舉例研究。結論：冪指數(shù) 不同，定義域并不完全相同，應區(qū)別對待。
激發(fā)學生探討的欲望，提高學生主動參與程度。
⑹寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：①y=x ②y= ③y=x ④y=x
學生解答，并歸納解決辦法。引導學生與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)對照比較。(幻燈片演示) 引導學生具體問題具體分析，并作簡單歸納：分數(shù)指數(shù)應化成根式，負指數(shù)寫成正數(shù)指數(shù)再寫出定義域。冪函數(shù)的奇偶性也應具體分析。
⑺上述函數(shù)的單調(diào)性如何?如何判斷?
學生思考：作圖 引發(fā)學生作圖研究函數(shù)性質(zhì)的興趣。函數(shù)單調(diào)性的判斷，既可以使用定義，也可以通過圖象解決，直觀，易理解。
⑻在同一坐標系內(nèi)作出上述函數(shù)的圖象。 學生作圖，教師巡視。將學生作圖用實物投影儀演示，指出優(yōu)點和錯誤之處。教師利用幾何畫板演示(附圖1)通過超級鏈接幾何畫板演示。 訓練學生作圖的基本功，加強學生的實踐，讓學生在自己的經(jīng)驗中認識冪函數(shù)的圖象。避免教師直接使用計算機演示圖象，剝奪學生動手的機會。
⑼上述函數(shù)圖象有哪些共同點? 學生討論，總結。教師引導?？蓪W生已熟悉的函數(shù)y= ,y=x一同投影，幫助學生觀察。(投影演示結論)
訓練學生觀察分析能力。
⑽回答第7個問題。
學生思考，回答。教師注意學生敘述的嚴密。 訓練學生的語言敘述能力。再次體會與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的區(qū)別。體會冪指數(shù)的不同情況對函數(shù)單調(diào)性的影響。
⑾圖象之間有什么區(qū)別?特別是在分布上。與常數(shù) 有什么聯(lián)系?
教師通過幾何畫板演示圖象在第一象限內(nèi)的變化規(guī)律，以驗證學生猜想。通過超級鏈接幾何畫板演示。(附圖2)
這是較高要求，可以讓學生自由猜想和發(fā)言。進一步提高學生觀察，歸納能力。
⑿鞏固練習 寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性和單調(diào)性：①y=x ②y=x ③y=x 。
學生獨立思考并回答。
訓練學生自覺運用冪函數(shù)圖象性質(zhì)的基本規(guī)律。
⒀簡單應用1：比較下列各組中兩個值的大小，并說明理由：
①0.75 ，0.76 ;
②(-0.95) ，(-0.96) ;
③0.23 ，0.24 ;
④0.31 ，0.31
學生思考，作答，教師引導學生敘述語言的邏輯性。
訓練學生用函數(shù)性質(zhì)進行解釋，強化學生邏輯意識。其中第④小題是利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決，注意區(qū)別。
⒁請學生考慮可以如何驗證上述答案的正確。
學生實踐。 使用計算器驗證，提高學生使用學習工具的意識。
⒂簡單應用2：冪函數(shù)y=(m -3m-3)x 在區(qū)間 上是減函數(shù)，求m的值。
學生思考，作答。教師板演。 對冪函數(shù)定義進一步鞏固，對函數(shù)性質(zhì)作初步應用。同時訓練學生對初步答案進行篩選。
⒃簡單應用2：
已知(a+1) <(3-2a) ,試求a的取值范圍。
學生思考，作答。教師板演。
訓練學生靈活使用性質(zhì)解題。
數(shù)學交流 ⒄小結：今天的學習內(nèi)容和方法有哪些?你有哪些收獲和經(jīng)驗? 學生思考、小組討論，教師引導。 讓學生回顧，小結，將對學生形成知識系統(tǒng)產(chǎn)生積極影響。
數(shù)學再現(xiàn)
⒅布置作業(yè)：
課本p.73 2、3、4、思考5 思考5作為訓練學生應用數(shù)學于實際的較好例子，應讓能力較好學生得到充分發(fā)展。
幾點說明：
⑴本節(jié)課開始時要注意用相關熟悉例子引入新課。
⑵畫函數(shù)圖象時，如果學生已能夠運用計算器或相關計算機軟件作圖，可以讓學生自己操作，以提高學生探索問題的興趣和能力，并提高教學效率。
⑶由于課程標準對冪函數(shù)的研究范圍有相對限制，故第11個問題要求較高，建議視具體情況選擇教學。
⑷本設計相關課件采用PowerPoint演示文稿，其中部分使用超級鏈接至幾何畫板(4.06版本)進行演示。
1、設計理念
注重發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，倡導學生積極主動探索、動手實踐與相互合作交流的數(shù)學學習方式。這種方式有助于發(fā)揮學生學習主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。我們應積極創(chuàng)設條件，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。
注重提高學生數(shù)學思維能力。課堂教學是促進學生數(shù)學思維能力發(fā)展的主陣地。問題解決是培養(yǎng)學生思維能力的主要途徑。所設計的問題應有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等教學活動。內(nèi)容的呈現(xiàn)應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求。伴隨新的問題發(fā)現(xiàn)和問題解決后成功感的滿足，由此刺激學生非認知深層系統(tǒng)的良性運行，使其產(chǎn)生“樂學”的余味，學生學習的積極性與主動性在教學中便自發(fā)生成。本節(jié)主要安排應用類比法進行探討，加深學生對類比法的體會與應用。
注重學生多層次的發(fā)展。在問題解決的探究過程中應體現(xiàn)“以人為本”，充分體現(xiàn)“人人學有價值的數(shù)學，人人都能獲得必需的數(shù)學”，“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的教學理念。有意義的數(shù)學學習必須建立在學生的主觀愿望和知識經(jīng)驗基礎之上，而學生的基礎知識和學習能力是多層次的，所以設計的問題也應有層次性，使各層次學生都得到發(fā)展。
注重信息技術與數(shù)學課程的整合。高中數(shù)學課程應盡量使用科學型計算器，各種數(shù)學教育技術平臺，加強數(shù)學教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)。
另外，在數(shù)學教學中，強調(diào)數(shù)學本質(zhì)的同時，也讓學生通過適度的形式化，較好的理解和使用數(shù)學概念、性質(zhì)。
2、教材分析
冪函數(shù)是江蘇教育出版社普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(必修1)第二章第四節(jié)的內(nèi)容。該教學內(nèi)容在人教版試驗修訂本(必修)中已被刪去。標準將該內(nèi)容重新提出，正是考慮到冪函數(shù)在實際生活的應用。故在教學過程及后繼學習過程中，應能夠讓學生體會其實際應用。《標準》將冪函數(shù)限定為五個具體函數(shù)，通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì)。其中，學生在初中已經(jīng)學習了y=x、y=x2、y=x-1等三個簡單的冪函數(shù)，對它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認識?，F(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念，有助于學生形成完整的知識結構。學生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象，研究了兩個特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，對研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法。因此，教材安排學習冪函數(shù)，除內(nèi)容本身外，掌握研究函數(shù)的一般思想方法是另一目的，另外應讓學生了解利用信息技術來探索函數(shù)圖象及性質(zhì)是一個重要途徑。該內(nèi)容安排一課時。
3、教學目標的確定
鑒于上述對教材的分析和新課程的理念確定如下教學目標：
⑴掌握冪函數(shù)的形式特征，掌握具體冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
⑵能應用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關簡單問題。
⑶加深學生對研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗。
⑷培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納能力。了解類比法在研究問題中的作用。
⑸滲透辨證唯物主義觀點和方法論，培養(yǎng)學生運用具體問題具體分析的方法分析問題、解決問題的能力。
4、教學方法和教具的選擇
基于對課程理念的理解和對教材的分析，運用問題情境可以使學生較快的進入數(shù)學知識情景，使學生對數(shù)學知識結構作主動性的擴展，通過問題的導引，學生對數(shù)學問題探究，進行數(shù)學建構，并能運用數(shù)學知識解決問題，讓學生有運用數(shù)學成功的體驗。本課采用教師在學生原有的知識經(jīng)驗和方法上，引導學生提出問題、解決問題的教學方法，體現(xiàn)以學生為主體，教師主導作用的教學思想。
教具：多媒體。制作多媒體課件以提高教學效率。
5、教學重點和難點
重點是從具體冪函數(shù)歸納認識冪函數(shù)的一些性質(zhì)并作簡單應用。
難點是引導學生概括出冪函數(shù)性質(zhì)。
6、教學流程
基于新課程理念在教學過程中的體現(xiàn)，教學流程的基線為：
考慮到學生已經(jīng)學習了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，對函數(shù)的學習、研究有了一定的經(jīng)驗和基本方法，所以教學流程又分兩條線，一條以內(nèi)容為明線，另一條以研究函數(shù)的基本內(nèi)容和方法為暗線，教學過程中同時展開。
明線：
暗線：
二、實施方案
問題導引 師生活動 設計意圖
問題情境 ⑴寫出下列y關于x的函數(shù)解析式：
①正方形邊長x、面積y
②正方體棱長x、體積y
③正方形面積x、邊長y
④某人騎車x秒內(nèi)勻速前進了1km,騎車速度為y
⑤一物體位移y與位移時間x，速度1m/s
學生口答，教師板書答案?；脽羝菔締栴}。
由具體問題入手，從熟悉的情景引入，提高學生的參與程度。符合學生認識特點。
⑵上述函數(shù)解析式有什么共同特征?是否為指數(shù)函數(shù)? 學生相互討論，必要時，教師將解析式寫成指數(shù)冪形式，以啟發(fā)學生歸納。投影演示定義。 引導學生觀察，訓練學生歸納能力。并與前面知識進行區(qū)分，以進一步幫助學生明晰概念。
⑶判別下列函數(shù)中有幾個冪函數(shù)?
①y= ②y=2x2③y=x ④y=x2+x ⑤y=-x3
學生獨立思考，回答。學生鑒別?；脽羝菔绢}目。
鞏固概念，強化學生對概念形式特征的把握。
⑷冪函數(shù)具有哪些性質(zhì)?研究函數(shù)應該是哪些方面的內(nèi)容。前面指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)研究了哪些內(nèi)容?
學生討論，教師引導。學生回答。
引導學生回想前面學習指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的研究內(nèi)容和過程。啟發(fā)學生用類比思想進行研究冪函數(shù)。
⑸冪函數(shù)的定義域是否與對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)一樣，具有相同的定義域? 學生小組討論，得到結論。引導學生舉例研究。結論：冪指數(shù) 不同，定義域并不完全相同，應區(qū)別對待。
激發(fā)學生探討的欲望，提高學生主動參與程度。
⑹寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性：①y=x ②y= ③y=x ④y=x
學生解答，并歸納解決辦法。引導學生與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)對照比較。(幻燈片演示) 引導學生具體問題具體分析，并作簡單歸納：分數(shù)指數(shù)應化成根式，負指數(shù)寫成正數(shù)指數(shù)再寫出定義域。冪函數(shù)的奇偶性也應具體分析。
⑺上述函數(shù)的單調(diào)性如何?如何判斷?
學生思考：作圖 引發(fā)學生作圖研究函數(shù)性質(zhì)的興趣。函數(shù)單調(diào)性的判斷，既可以使用定義，也可以通過圖象解決，直觀，易理解。
⑻在同一坐標系內(nèi)作出上述函數(shù)的圖象。 學生作圖，教師巡視。將學生作圖用實物投影儀演示，指出優(yōu)點和錯誤之處。教師利用幾何畫板演示(附圖1)通過超級鏈接幾何畫板演示。 訓練學生作圖的基本功，加強學生的實踐，讓學生在自己的經(jīng)驗中認識冪函數(shù)的圖象。避免教師直接使用計算機演示圖象，剝奪學生動手的機會。
⑼上述函數(shù)圖象有哪些共同點? 學生討論，總結。教師引導?？蓪W生已熟悉的函數(shù)y= ,y=x一同投影，幫助學生觀察。(投影演示結論)
訓練學生觀察分析能力。
⑽回答第7個問題。
學生思考，回答。教師注意學生敘述的嚴密。 訓練學生的語言敘述能力。再次體會與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的區(qū)別。體會冪指數(shù)的不同情況對函數(shù)單調(diào)性的影響。
⑾圖象之間有什么區(qū)別?特別是在分布上。與常數(shù) 有什么聯(lián)系?
教師通過幾何畫板演示圖象在第一象限內(nèi)的變化規(guī)律，以驗證學生猜想。通過超級鏈接幾何畫板演示。(附圖2)
這是較高要求，可以讓學生自由猜想和發(fā)言。進一步提高學生觀察，歸納能力。
⑿鞏固練習 寫出下列函數(shù)的定義域，并指出它們的奇偶性和單調(diào)性：①y=x ②y=x ③y=x 。
學生獨立思考并回答。
訓練學生自覺運用冪函數(shù)圖象性質(zhì)的基本規(guī)律。
⒀簡單應用1：比較下列各組中兩個值的大小，并說明理由：
①0.75 ，0.76 ;
②(-0.95) ，(-0.96) ;
③0.23 ，0.24 ;
④0.31 ，0.31
學生思考，作答，教師引導學生敘述語言的邏輯性。
訓練學生用函數(shù)性質(zhì)進行解釋，強化學生邏輯意識。其中第④小題是利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解決，注意區(qū)別。
⒁請學生考慮可以如何驗證上述答案的正確。
學生實踐。 使用計算器驗證，提高學生使用學習工具的意識。
⒂簡單應用2：冪函數(shù)y=(m -3m-3)x 在區(qū)間 上是減函數(shù)，求m的值。
學生思考，作答。教師板演。 對冪函數(shù)定義進一步鞏固，對函數(shù)性質(zhì)作初步應用。同時訓練學生對初步答案進行篩選。
⒃簡單應用2：
已知(a+1) <(3-2a) ,試求a的取值范圍。
學生思考，作答。教師板演。
訓練學生靈活使用性質(zhì)解題。
數(shù)學交流 ⒄小結：今天的學習內(nèi)容和方法有哪些?你有哪些收獲和經(jīng)驗? 學生思考、小組討論，教師引導。 讓學生回顧，小結，將對學生形成知識系統(tǒng)產(chǎn)生積極影響。
數(shù)學再現(xiàn)
⒅布置作業(yè)：
課本p.73 2、3、4、思考5 思考5作為訓練學生應用數(shù)學于實際的較好例子，應讓能力較好學生得到充分發(fā)展。
幾點說明：
⑴本節(jié)課開始時要注意用相關熟悉例子引入新課。
⑵畫函數(shù)圖象時，如果學生已能夠運用計算器或相關計算機軟件作圖，可以讓學生自己操作，以提高學生探索問題的興趣和能力，并提高教學效率。
⑶由于課程標準對冪函數(shù)的研究范圍有相對限制，故第11個問題要求較高，建議視具體情況選擇教學。
⑷本設計相關課件采用PowerPoint演示文稿，其中部分使用超級鏈接至幾何畫板(4.06版本)進行演示。